Um quadrado cujo comprimento lateral é um número natural é chamado de quadrado inteiro . O problema de quadrar o quadrado é pavimentar um quadrado inteiro com quadrados inteiros.
Quadrar o quadrado é uma tarefa trivial sem nenhum conjunto de condições adicionais. A restrição mais estudada é a quadratura “perfeita” do quadrado, onde todos os quadrados contidos são de tamanhos diferentes (veja abaixo).
Outras condições podem levar a resultados interessantes. Um deles é a quadratura do quadrado sem a junção da borda (ou seja, a junção completa das bordas do mesmo tamanho não é permitida) e a quadratura do quadrado sem contato (ou seja, proibir que duas peças do mesmo tamanho se toquem) (ver pavimentação ).
Uma quadratura “perfeita” do quadrado é tal que um quadrado é feito de quadrados menores, cada um de um tamanho diferente. O nome foi atribuído por uma analogia humorística com a quadratura do círculo .
Foi registrado pela primeira vez que ela foi estudada por RL Brooks , CAB Smith (de) , AH Stone e WT Tutte , sob o pseudônimo coletivo Blanche Descartes , na Universidade de Cambridge .
Para fazer isso, eles transformaram o ladrilho do quadrado em um circuito elétrico equivalente, criando um diagrama de Smith do quadrado e considerando as arestas do diagrama como resistências . Em seguida, eles aplicaram as leis de Kirchhoff sobre circuitos elétricos e técnicas de decomposição de circuitos a este circuito.
O primeiro quadrado perfeito em quadratura foi encontrado por Roland Sprague (em) em 1939 .
Se pegarmos um pedaço da tesselação e ampliá-la até que o menor quadrado tenha agora o tamanho do quadrado S do qual começamos, obtemos a partir disso uma tesselação do plano com quadrados inteiros, cada um com um tamanho diferente.
Ainda é um problema não resolvido se o plano pode ser pavimentado com um conjunto de quadrados inteiros de forma que cada um deles tenha um tamanho diferente usando um número natural e usado apenas uma vez.
Martin Gardner publicou um longo artigo de Tutte sobre a história da quadratura.
Uma quadratura "simples" do quadrado é aquela em que nenhum subconjunto de quadrados forma um retângulo. A menor quadratura perfeita simples do quadrado foi descoberta por AJW Duijvestin usando uma pesquisa de computador . Seu revestimento usa 21 quadrados e tem se mostrado minimalista e único.
Quando a restrição de que todos os lados do quadrado têm comprimentos diferentes é substituída por esses comprimentos são relativamente principais , o problema de quadratura do quadrado resultante é freqüentemente chamado de " colcha para a Sra . Perkins".