Quadri-momento
Em especial relatividade , o quadri-momento (ou quadrivector impulso ou quadri-momentum ou quadrivector impulso em energia ou quadrivector energia-momento ) é uma generalização do tridimensional momento linear da física clássica na forma de um quadrivector do espaço de Minkowski , espaço-tempo quadridimensional da relatividade especial.
O quadri-momento de uma partícula combina o momento tridimensional e a energia :
p→=(px,py,pz){\ displaystyle {\ vec {p}} = (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}E{\ displaystyle E}
(p0p1p2p3)=(E/vspxpypz)=(γmvsγmvxγmvyγmvz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p ^ {0} \\ p ^ {1} \\ p ^ {2} \\ p ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E / c \\ p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatriz}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma mc \\\ gamma mv_ {x} \\\ gamma mv_ {y } \\\ gamma mv_ {z} \ end {pmatrix}}}Como qualquer quadrivetor, é covariante, ou seja, as mudanças de suas coordenadas durante uma mudança de referencial inercial são calculadas por meio de transformações de Lorentz .
Em uma dada base do espaço-tempo de Minkowski, suas coordenadas são anotadas , na base covariante associada, suas coordenadas são anotadas e são iguais a (p0;p1;p2;p3){\ displaystyle \ \ left (p ^ {0}; p ^ {1}; p ^ {2}; p ^ {3} \ right)} (p0;p1;p2;p3){\ displaystyle \ \ left (p_ {0}; p_ {1}; p_ {2}; p_ {3} \ right)} peu=ηeuj.pj{\ displaystyle \ p_ {i} = \ eta _ {ij} .p ^ {j}}
Relacionamento com velocidade quádrupla
Sabíamos que na mecânica clássica, a relação entre o momento e a velocidade da partícula não relativística é a seguinte:
p→=mv→{\ displaystyle {\ vec {p}} = m {\ vec {v}}}onde está a massa em repouso.
m{\ displaystyle m}
Podemos generalizar esse conceito para quatro dimensões, introduzindo a velocidade quádrupla. Para uma partícula dotado com diferente de zero em massa , mas tendo de zero eléctrico carga, o quadri-momento é dada pelo produto da massa em repouso e a quatro velocidade .
m{\ displaystyle \ m} você{\ displaystyle \ u}
Em coordenadas contravariantes, temos , onde é o fator de Lorentz e c é a velocidade da luz :
você=(você0,você1,você2,você3)=(γ.vs,γvx,γvy,γvz){\ displaystyle \ u = \ left (u ^ {0}, u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3} \ right) = \ left (\ gamma .c, \ gamma v_ {x} , \ gamma v_ {y}, \ gamma v_ {z} \ right)}γ=11-(vvs)2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {v} {c}}) ^ {2}}}}}
pµ=mvocêµ{\ displaystyle p ^ {\ mu} = m \, u ^ {\ mu} \!} ou
µ∈{0,1,2,3}{\ displaystyle \ mu \ in {\ big \ {} 0,1,2,3 {\ big \}}}
Norma de Minkowski: p 2
Calculando a norma de Minkowski de um quadri-momento, obtemos um invariante de Lorentz igual (a um fator igual à velocidade da luz c próximo) ao quadrado da massa em repouso da partícula:
p⋅p=ηµνpµpν=E2vs2-|p→|2=m2vs2{\ displaystyle p \ cdot p = \ eta _ {\ mu \ nu} p ^ {\ mu} p ^ {\ nu} = {E ^ {2} \ over c ^ {2}} - | {\ vec { p}} | ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2}}Como é um invariante de Lorentz, seu valor permanece inalterado pelas transformações de Lorentz, ou seja, pela mudança do referencial inercial . Usando a métrica de Minkowski :
|p|2{\ displaystyle | p | ^ {2} \!}
ηµν=(10000-10000-10000-1){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 e 0 e -1 \ end {pmatrix}}}O tensor métrico é de fato definido até um sinal. A convenção em vez da convenção adotada neste artigo será encontrada em algumas obras . Os resultados físicos são obviamente os mesmos, independentemente da convenção escolhida, mas deve-se tomar cuidado para não confundi-los.
ηµν=(-,+,+,+){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = (-, +, +, +)}ηµν=(+,-,-,-){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = (+, -, -, -)}
Preservação do quadri-momento
A conservação do quadri-momento em um determinado quadro de referência implica duas leis de conservação para as chamadas quantidades clássicas :
- A quantidade total de energia é invariável. E=vs.p0{\ displaystyle \ E = cp ^ {0}}
- O momento linear tridimensional clássico permanece invariante.p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
Deve-se notar de passagem que a massa de um sistema de partículas pode ser maior que a soma das massas das partículas em repouso, por causa da energia cinética . Por exemplo, vamos tomar 2 partículas de quadri-momento {5 Gev, 4 Gev / c , 0, 0} e {5 Gev, -4 Gev / c , 0, 0}: cada uma delas tem uma massa em repouso de 3 Gev / c 2, mas sua massa total (ou seja, novamente a massa do sistema) é de 10 Gev / c 2 . Se essas 2 partículas colidem e se fundem, a massa do objeto assim formado é 10 Gev / c 2 .
Uma aplicação prática em física de partículas da conservação da massa em repouso permite, a partir dos quadri-momentos p A e p B de 2 partículas criadas pelo decaimento de uma partícula maior com um quadri-momento q, encontrar a massa da partícula inicial. A conservação do quadrimomento dá q μ = p A μ + p B μ , e a massa M da partícula inicial é dada por | q | 2 = H 2 c 2 . Medindo a energia e os 3 momentos das partículas resultantes, podemos calcular a massa em repouso do sistema de 2 partículas que é igual a M. Esta técnica é usada em particular na pesquisa experimental do bóson Z em aceleradores de partículas .
Se a massa de um objeto não muda, o produto escalar de Minkowski de seu quadri-momento e a quadri-aceleração correspondente A μ é zero. A aceleração é proporcional ao tempo derivado do momento dividido pela massa da partícula:
pµNOµ=pµddtηµνpνm=12mddt|p|2=12mddt(m2vs2)=0{\ displaystyle p _ {\ mu} A ^ {\ mu} = p _ {\ mu} {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ eta ^ {\ mu \ nu} p _ {\ nu }} {m}} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d} {dt}} | p | ^ {2} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d } {dt}} (m ^ {2} c ^ {2}) = 0}
Também é útil definir um momento "canônico" (em 4 dimensões), para aplicações em mecânica quântica relativística :, que é a soma do quadri-momento e do produto da carga elétrica com o potencial (que é um vetor em 4 dimensões):
Pµ{\ displaystyle P ^ {\ mu}}
Pµ=pµ+qNOµ{\ displaystyle P ^ {\ mu} = p ^ {\ mu} + qA ^ {\ mu} \!}onde o potencial de 4 vetores é uma combinação entre o potencial escalar e o potencial vetorial do campo magnético :
(NO0NO1NO2NO3)=(ϕ/vsNOxNOyNOz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ phi / c \\ A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatriz}}}Veja também
Notas
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Relatividade geral e gravitação por Edgard Elbaz, (elipse 1986), capítulo IV, §4
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Lev Landau e Evgueni Lifchits , Física Teórica , t. 2: Teoria de campo [ detalhe das edições ], §9
-
Ch. Grossetête , Restricted Relativity and Atomic Structure of Matter , Paris, Ellipses ,1985, 320 p. ( ISBN 2-7298-8554-4 ) , p. 61
-
Introdução à Relatividade James H. Smith, InterEditions (1968) ( 2 ª edição em 1979 ( ISBN 2-7296-0088-4 ) reeditado por Masson: Dunod - 3 ª Edição - 1997 ( ISBN 2-225-82985 -3 ) ), capítulo 12
-
A convenção de signos está presente em Lev Landau e Evgueni Lifchits , Physique theory , t. 2: Teoria de campo [ detalhe das edições ]ηµν=(+,-,-,-){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = (+, -, -, -)} , por exemplo.
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A conservação do quadri-momento significa que em um dado referencial, o quadri-momento total de um sistema isolado é preservado. Ao mudar repositório, o quadrimomento sofre uma transformação de Lorentz: . O novo quadri-momento, por sua vez, é mantido neste novo quadro de referência, mas não é igual a .pν{\ displaystyle p ^ {\ nu}}p′ µ=Λµνpν{\ displaystyle p '~ ^ {\ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} p ^ {\ nu}}p′ µ{\ displaystyle p '~ ^ {\ mu}}pν{\ displaystyle p ^ {\ nu}}
Referências
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">