Resolução Numérica de Equações Diferenciais

Em análise, existem métodos de resolução numérica para equações diferenciais . Na verdade, a resolução explícita, por quadratura, raramente é possível.

O primeiro método digital foi introduzido em 1768 por Leonhard Euler . Desde então, um grande número de técnicas foram desenvolvidas: baseiam-se na discretização do intervalo de estudo em um determinado número de etapas . De acordo com o tipo de fórmula utilizada para abordar as soluções, distinguem-se os métodos numéricos com um passo ou com passos múltiplos, explícitos ou implícitos.

Existem vários critérios para medir o desempenho dos métodos numéricos: a consistência de um método indica que o erro teórico cometido na abordagem da solução tende para 0 com os passos. A estabilidade indica a capacidade de controlar o acúmulo de erros de arredondamento. Juntos, eles garantem a convergência, ou seja, a possibilidade de fazer com que o erro total tenda para 0 com o passo e, assim, que a solução calculada esteja próxima da solução analítica do problema.

Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

As equações diferenciais ordinárias podem ser formuladas da seguinte forma:

Resolva para qualquer t maior que t 0 :

{\ displaystyle y '= f (t, y (t)), y (t_ {0}) = y_ {0}}

com e um determinado vetor . ${\ displaystyle f: [t_ {0}, + \ infty [\ times \ mathbb {R} ^ {d} \ to \ mathbb {R} ^ {d}}$ $y_ {0}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$

É um problema de condição inicial, do qual o teorema de Cauchy-Lipschitz garante a existência e a unicidade da solução se f for Lipschitziano. Esta escrita de matriz torna possível estender este problema para o caso em que as derivadas são de ordem superior, escrevendo o problema para cada uma das derivadas de y .

Métodos de uma etapa

Os métodos de Euler são métodos convencionais, uma etapa que permite, desde a condição inicial, calcular os valores da solução a cada etapa h .

Método de Euler explícito

Consiste em fazer uma aproximação da derivada pela expansão direta limitada, o que dá

{\ displaystyle y (t_ {n + 1}) = y (t_ {n} + h) \ approx y (t_ {n}) + hy '(t_ {n}) = y (t_ {n}) + hf (t_ {n}, y (t_ {n})).}

Método de Euler implícito

Consiste em fazer uma aproximação da derivada pelo desenvolvimento retrógrado limitado, o que dá

{\ displaystyle y (t_ {n}) = y (t_ {n + 1} -h) \ aprox y (t_ {n + 1}) - hy '(t_ {n + 1}) = y (t_ {n +1}) - hf (t_ {n + 1}, y (t_ {n + 1})).}

Portanto, temos um problema para resolver a cada iteração:

{\ displaystyle y (t_ {n + 1}) = y (t_ {n}) + hf (t_ {n + 1}, y (t_ {n + 1})),}

o que gera cálculos mais longos, mas geralmente mais estáveis.

Métodos multi-etapas

Esses métodos podem ser estendidos a métodos de etapas múltiplas, utilizando vários valores das soluções numéricas para a iteração, ou em um cálculo em várias etapas de cada uma das iterações (esta é a ideia dos métodos de Runge-Kutta ) Existem outros métodos, como a fórmula de diferenciação retroativa (em) .

Resolução numérica de equações diferenciais parciais

As equações diferenciais parciais podem ser resolvidas de maneira semelhante, introduzindo uma etapa em cada dimensão. Os métodos usuais são:

método das diferenças finitas ;
método dos elementos finitos ;
método dos volumes finitos .

Análise

Para estimar o uso correto de um esquema numérico para uma dada equação, a análise numérica fornece três critérios:

a convergência , que garante que a solução aproximada esteja próxima da solução real,
a ordem , que quantifica a qualidade da aproximação,
a estabilidade , que avalia o comportamento do erro.

Convergência

Dizemos de um método que é convergente se a solução numérica tende para a solução exata quando os parâmetros tendem para 0. Mais precisamente, retomando as definições anteriores:

{\ displaystyle \ forall t> t_ {0} \, \ lim _ {h \ to 0 ^ {+}} \ max _ {n = 0,1, \ dots, \ lfloor t / h \ rfloor} \ | y_ {n, h} -y (t_ {n}) \ | = 0}

Esta é uma condição necessária para o uso de um diagrama digital.

Consistência e ordem

Consideramos a escrita geral de um diagrama digital:

{\ displaystyle y_ {n + k} = \ Phi (t_ {n + k}; y_ {n}, y_ {n + 1}, \ dots, y_ {n + k-1}; h). \,}

O erro de truncamento local do método é o erro cometido por uma iteração do método, ou seja, a diferença entre a solução calculada e o valor exato da solução, assumindo que o erro induzido pelo cálculo das etapas anteriores não é nada:

{\ displaystyle \ delta _ {n + k} ^ {h} = \ Phi \ left (t_ {n + k}; y (t_ {n}), y (t_ {n + 1}), \ dots, y (t_ {n + k-1}); h \ right) -y (t_ {n + k}).}

O método é considerado consistente se

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ delta _ {n + k} ^ {h}} {h}} = 0.}

O método é considerado de ordem $p$ se

{\ displaystyle \ delta _ {n + k} ^ {h} = O (h ^ {p + 1}) \ quad {\ mbox {para}} h \ a 0.}

Vemos que um método é consistente se for pelo menos de ordem maior que 0. No entanto, a consistência é apenas uma condição necessária para a convergência de um método, não é suficiente: o método deve ser consistente e estável em zero para garantir sua convergência.

Estabilidade e rigidez

Para algumas equações diferenciais ordinárias, alguns esquemas usuais levam a uma solução instável com tons muito grandes (normalmente os esquemas explícitos de Euler ou Runge-Kutta), enquanto outros esquemas tornam possível obter uma solução mais regular. O problema pode então surgir de uma evolução do comportamento da solução ao longo do tempo.

Referências

(pt) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias " ( veja a lista de autores ) .

Veja também

Bibliografia

Jean-Pierre Demailly , Análise numérica e equações diferenciais [ detalhe das edições ]