Matriz R0

Em matemática , uma -matriz é uma matriz quadrada real que fornece propriedades particulares para problemas de complementaridade linear . Essas propriedades, que são difíceis de expressar em poucas palavras, são descritas na definição dada a seguir. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Definições

As propriedades equivalentes que podem servir como uma definição para matrizes requerem a recuperação de algumas noções. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Para um vetor , a notação significa que todos os componentes do vetor são positivos. Dada uma matriz real quadrada e um vetor , um problema de complementaridade linear consiste em encontrar um vetor tal que , e , que é escrito de forma abreviada da seguinte forma: $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ vezes n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

${\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$
Uma função definida em com valores reais é dita coerciva se tem seus conjuntos de subníveis limitados , o que equivale a dizer que tende ao infinito se . $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ to \ infty}$

Agora podemos dar a definição de uma -matriz. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

${\ mathbf {R_ {0}}}$ -matriz - Dizemos que uma matriz quadrada real é uma -matriz se uma das seguintes propriedades equivalentes for válida: ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$

a única solução do problema é a solução nula, ${\ mbox {CL}} (M, 0)$
seja o que for , a função é coerciva, $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}$
a função é coercitiva. ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$

Denotamos o conjunto de matrizes de qualquer ordem. Chamamos -matricidade a propriedade de uma matriz à qual pertencer ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}$

A ligação entre o problema e a função vem do fato de ser uma solução de se, e somente se, (o operador atua componente por componente). ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$ $x$ ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}$ $\ min$

Propriedade

Link com copropriedade

Um autovalor ou autovalor de Pareto de uma matriz real simétrica é um valor crítico do problema de otimização ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ vezes n}}$

${\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ atop \ | x \ | = 1} \ atop x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}$

ou seja, o valor do critério em um ponto estacionário deste problema, o que equivale a dizer que o problema de complementaridade linear abaixo tem uma solução diferente de zero : ${\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}$ $x$

${\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}$

De acordo com a definição 1 de -matricidade, vemos que, para uma matriz simétrica , essa noção equivale a dizer que a matriz não tem um covalor próprio zero. Pode ser útil aproximar essa definição daquela dos autovalores de uma matriz simétrica , que podem ser obtidos como valores críticos do quociente de Rayleigh , sem a restrição de positividade usada aqui. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Apêndices

Bibliografia