Representação de interação

A representação de interação ou representação de Dirac da mecânica quântica é uma maneira de lidar com problemas dependentes do tempo.

Condição de aplicação da representação de interação

Na representação da interação, aplicamos as seguintes premissas:

Consideramos um hamiltoniano com a seguinte forma:

H^=H^0+V^(t){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {V}} (t)}

onde é constante ao longo do tempo e descreve uma interação perturbativa que pode ser dependente do tempo. H^0{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}V^(t){\ displaystyle {\ hat {V}} (t)}

• Os eigenstates são dependentes do tempo
• Os operadores também dependem do tempo
• A dinâmica dos estados é descrita de acordo com a representação de Schrödinger enquanto a dinâmica dos operadores é descrita de acordo com a representação de Heisenberg .
• A representação de Dirac só se aplica efetivamente a certos problemas. O exemplo mais revelador é o das perturbações dependentes do tempo.

Propagadores

Para reconhecer que estamos trabalhando na representação da interação, estados e operadores serão seguidos pelo índice “I” (como interação). O significado desta representação é que a dependência do tempo devido a será levada em consideração na dependência explícita dos observáveis ​​em função do tempo e a dependência do tempo devido ao desenvolvimento da função de onda. Esta é outra maneira de descrever a mesma física. Isso significa que as quantidades físicas significativas permanecem inalteradas. H^0{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}V^(t){\ displaystyle {\ hat {V}} (t)}

Existem dois operadores de evolução ao longo do tempo:

• o operador "normal" em relação ao hamiltoniano completo  :H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

você^(t,t0)=e-euH^(t-t0)/ℏ{\ displaystyle {\ hat {U}} (t, t_ {0}) = e ^ {- i {\ hat {H}} (t-t_ {0}) / \ hbar}}

• o operador relacionado ao hamiltoniano não perturbado  :H^0{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}

você^0(t,t0)=e-euH^0(t-t0)/ℏ{\ displaystyle {\ hat {U}} _ {0} (t, t_ {0}) = e ^ {- i {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0}) / \ hbar }}

Definição de hamiltonianos e função de onda de interação

O operador dependente do tempo é escrito como na representação de Heisenberg NO^eu(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {I} (t)}

NOeu(t)=você^0†(t,t0)NO^S(t0)você^0(t,t0)=eeuH^0(t-t0)ℏNO^S(t0)e-euH^0(t-t0)ℏ.{\ displaystyle A_ {I} (t) = {\ hat {U}} _ {0} ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) {\ hat {A}} _ {S} (t_ {0 }) {\ hat {U}} _ {0} (t, t_ {0}) = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t -t_ {0})} {\ hbar}} {\ hat {A}} _ {S} (t_ {0}) {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {i \, {\ hat { H}} _ {0} (t-t_ {0})} {\ hbar}}} \,.}

o estado dependente do tempo só é acessível indiretamente, por redução (na representação de Schrödinger) do estado de dinâmica completa , a fim de definir. |ψ(t)⟩eu{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {I}}|ψ(t)⟩S{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {\ rm {S}}}

|ψ(t)⟩eu=você^0†(t,t0)|ψ(t)⟩S=eeuH^0(t-t0)ℏ|ψ(t)⟩S.{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {I} = {\ hat {U}} _ {0} ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) | \ psi (t) \ rangle _ { S} = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0})} {\ hbar}} | \ psi (t) \ rangle _ {S} \,.}

A partir daí, também definimos o operador dependente do tempo : Heu(t){\ displaystyle H_ {I} (t)}

H^eu(t)=eeuH^0(t-t0)ℏH^0e-euH^0(t-t0)ℏ=H^0.{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {I} (t) = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0 })} {\ hbar}} {\ hat {H}} _ {0} {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t- t_ {0})} {\ hbar}}} \, = {\ hat {H}} _ {0}.}

Equações de evolução da função de onda e os observáveis

A evolução da função de estado é escrita nesta representação:

euℏddt|ψeu(t)⟩=V^eu(t)|ψeu(t)⟩{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = {\ hat {V}} _ {I} (t) | \ psi _ {I} (t) \ rangle}.

Esta equação é conhecida como equação de Schwinger - Tomonaga . A evolução da quantidade física representada pelo operador A é escrita:

euℏdNO^eudt=[NO^eu(t),H^0]+euℏ∂NO^eu∂t{\ displaystyle i \, \ hbar {\ frac {{\ rm {d}} {\ hat {A}} _ {I}} {{\ rm {d}} t}} = \ left [{\ hat { A}} _ {\ rm {I}} (t), {\ hat {H}} _ {0} \ right] + i \, \ hbar {\ frac {\ partial {\ hat {A}} _ { I}} {\ parcial t}}}

	Representação:
	Heisenberg	Interação	Schrödinger
Ket	constante	|Ψ(t)⟩eu=você0-1|Ψ(t)⟩S{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle _ {I} = U_ {0} ^ {- 1} | \ Psi (t) \ rangle _ {S}}	|Ψ(t)⟩S=você|Ψ(t0)⟩S{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle _ {S} = U | \ Psi (t_ {0}) \ rangle _ {S}}
Observável	NOH(t)=você-1NOSvocê{\ displaystyle A_ {H} (t) = U ^ {- 1} A_ {S} U}	NOeu(t)=você0-1NOSvocê0{\ displaystyle A_ {I} (t) = U_ {0} ^ {- 1} A_ {S} U_ {0}}	constante
Operador de evolução	H^=H^0+V^(t){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {V}} (t)}	você(t,t0)=e-euℏH^(t-t0){\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} (t-t_ {0})}} você0(t,t0)=e-euℏH^0(t-t0){\ displaystyle U_ {0} (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0}) }}
Mecânica Quântica  : Teorema de Ehrenfest Equação de Schrödinger Propagator

Veja também

• A. Messias, Mecânica Quântica (Dunod)
• JL Basdevant, curso de mecânica quântica na Politécnica (elipses)
• JJ Sakurai e s. F. Tuan, Modern Quantum Mechanics, Benjamin-Cummings 1985, Reading, Addison-Wesley 2003

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