Na geometria afim, um quadro afim um espaço afim para associar um a um em qualquer ponto do espaço, um conjunto de coordenadas com valores no corpo no qual é definido o espaço vetorial associado. Um mapa afim é definido e inteiramente determinado pela imagem de um sistema de coordenadas afim.
A terminologia não é exatamente fixa: sob o nome de benchmark afim, encontramos duas noções distintas, mas fortemente vinculadas. Para o primeiro, um quadro de referência afim, também chamado neste caso de quadro cartesiano , consiste em um ponto no espaço afim considerado e uma base do espaço vetorial associado. Para o segundo, um sistema de coordenadas afim, também chamado neste caso de base afim , é o datum ordenado de pontos no espaço afim, de modo que o conjunto de pontos não está contido em outro espaço afim que não o espaço inteiro ( família geradora ) e que nenhum ponto pertence ao subespaço afim gerado pelos pontos restantes ( família de refinamento livre ou pontos de refinamento independentes ). Um sistema de coordenadas cartesianas torna muito fácil definir uma base afim e vice-versa.
No caso de um espaço afim de dimensão finita n , um quadro de referência afim no sentido de quadro de referência cartesiano consiste em um ponto e n vetores (em uma determinada ordem), um quadro de referência afim no sentido de base afim consiste em n + 1 pontos, novamente em uma ordem específica.
As coordenadas cartesianas naturalmente expressas em um quadro afim de coordenadas cartesianas para as coordenadas sensoriais e baricêntricas são expressas naturalmente em um quadro afim sob base afim, dito também às vezes marca baricêntrica .
Em um espaço afim onde o espaço vetorial tem sua estrutura no corpo K , um quadro afim , ou quadro cartesiano , é um par
,
em que é um ponto de (chamado a origem do sistema de coordenadas ), e é qualquer base de de .
Qualquer ponto de , está localizado por suas coordenadas cartesianas no quadro : são as coordenadas do vetor na base de . Quando é de dimensão finita n a base é escrita e temos:
,
onde denota as coordenadas de no sistema de coordenadas e denota as coordenadas do vetor na base .
Esta definição é legítima pelo facto de a escolha de um ponto privilegiado em permitir estabelecer uma correspondência biunívoca entre o espaço dos pontos e o espaço vectorial (ver espaço afim ). Escolhida a origem, as coordenadas dos pontos de E são as coordenadas dos vetores associados pela correspondência biunívoca.
Para qualquer par de pontos A e B de E, a seguinte igualdade segue imediatamente a partir da definição:
No mesmo espaço dimensional afim , se e forem dois referenciais diferentes, então as coordenadas são obtidas a partir das coordenadas do mesmo ponto, mas no quadro , usando as seguintes equações:
matricially qual são escritos , onde é a matriz de passagem em passar a partir da base para a base , e
A relação entre e é a seguinte:
As equações de mudança de referência na outra direção (de direção ) são escritas então:
Qualquer sistema de coordenadas afins em um espaço afim torna possível estabelecer um isomorfismo (afim) entre e o espaço afim canônico. De fato, o mapa definido por
para qualquer ponto ,
isto é, o mapa que se associa em qualquer ponto de suas coordenadas vistas como um elemento de , é um mapa afim bijetivo entre e tal que seu recíproco também é afim ( é um isomorfismo afim).
Qualquer espaço afim em um campo e de dimensão n é então isomórfico (se comporta de forma idêntica do ponto de vista de um espaço afim) ao espaço afim canônico. Os espaços afins a serem estudados são, portanto, simplesmente os espaços afins canônicos (também denotados ) que servem como modelos .
Uma base afim do espaço E , que muitos autores também chamam de referência afim, é uma família de pontos desse espaço, refinamento livre e gerador de todo o espaço.
Em um espaço afim E , uma família (A i ) i ∈ I de pontos de E é considerada refinamento livre se nenhum dos pontos A j da família pertencer ao subespaço gerado pelos pontos restantes (A i ) i ∈ I , i ≠ j . Na verdade, existem várias maneiras de dizer que uma família é um refinamento livre, voltando ao espaço vetorial subjacente ou mesmo usando baricentros . Assim, uma família é de refinamento livre se e somente se satisfizer uma das seguintes propriedades (todas equivalentes):
O espaço gerado por uma família (A i ) i ∈ I (ou um conjunto) de pontos do espaço afim E é o menor subespaço afim contendo todos esses pontos, ou seja, a interseção de todos os subespaços afins, cada um contendo todos (A i ). Ainda é o conjunto de baricentros de (A i ). Quando o espaço gerado é todo o espaço afim, também dizemos que a família é generativa. Uma família é, portanto, um gerador se e somente se, para um dado j em que a família de vectores:
é gerador .
Finalmente, uma base afim de E é uma família livre e geradora (A i ) i ∈ I , e vemos que isso é equivalente a:
é uma base do espaço vetorial associado, ou seja:
é um quadro de referência cartesiano do espaço afim E , um quadro de referência afim no sentido anterior, estando as duas noções, portanto, intimamente ligadas.
Qualquer ponto de um espaço afim é baricêntrico dos pontos de um referencial baricêntrico, a lista de coeficientes baricêntricos é única, exceto para um fator multiplicativo (único se assumirmos que a soma dos coeficientes deve ser 1), essas são as coordenadas baricêntricas .
Na dimensão finita n , todas as bases afins têm o mesmo cardinal n + 1, todas as famílias de refinamento livre têm um cardinal no máximo igual a n + 1, todas as famílias geradoras têm um cardinal no mínimo igual a n + 1. Essas propriedades são deduzidas daquelas análogas para as bases , família livre e família geradora de vetores pelas equivalências dos parágrafos anteriores.
Em particular, uma base afim é uma família livre de n + 1 pontos, ou seja (A 0 , ..., A n ) que satisfaz uma das condições do parágrafo #Family free refinement . Então :