Sedenion

Em matemática , os sedenions formam uma álgebra real de dimensão 16, notado . Seu nome vem do latim sedecim, que significa dezesseis. Dois tipos são atualmente conhecidos: ${\ mathbb S}$

os sedenions obtidos aplicando a construção Cayley-Dickson ;
sedenions cônicos (ou álgebra M).

Os sedenions da construção Cayley - Dickson

Como as octonions, a multiplicação dos sedenions não é comutativa nem associativa . Além disso, em comparação com as octonions, os sedenions perdem a propriedade de serem alternativos . Por outro lado, como estes últimos, são associativos dos poderes , isto é, os poderes são definidos univocamente.

Sedenions têm um elemento multiplicativo neutro 1 e inversos para multiplicação, mas não formam uma álgebra de divisão. Isso ocorre porque eles têm divisores de zero .

Cada sedenion é uma combinação linear , com coeficientes reais, das unidades sedenions 1, e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 , e 9 , e 10 , e 11 , e 12 , e 13 , e 14 e e 15 , que formam a base canônica do espaço vetorial dos sedenions. A tabela de multiplicação desses sedenions unitários é estabelecida da seguinte forma:

e 1

e 2

e 3

e 4

e 5

e 6

e 7

e 8

e 9

e 10

e 11

e 12

e 13

e 14

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e 5

e 6

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e 10

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e 12

e 13

e 14

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e 6

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e 3

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e 11

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e 9

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e 14

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e 12

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e 9

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-e 9

-e 8

e 8

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O sedenions cônico / álgebra M a 16-dim.

Aritmética

Ao contrário dos sedenions resultantes da construção Cayley-Dickson, que são construídos na unidade (1) e 15 raízes da unidade negativa (-1), os sedenions cônicos são construídos sobre 8 raízes quadradas da unidade positiva e negativa. Eles compartilham a não comutatividade e a não associatividade com a aritmética dos sedenions de Cayley-Dickson ("sedenions circulares"), no entanto os sedenions cônicos são modulares e alternativos.

Sédénions cónicos contêm ambos os sub-algebras octoniones circular, cica octoniones e octoniones hiperbólica. As octonions hiperbólicas são computacionalmente equivalentes às octonions implantadas .

Sedenions cónicos contêm idempotente , nilpotentes elementos e, por conseguinte, divisores de zero.

Bibliografia

Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions , Applied Mathematics and Computation 28: 47-72 (1988)
Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Outros resultados , Applied Mathematics and Computation, 84: 27-47 (1997)
Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Parte III , Online em http://www.kevincarmody.com/math/sedenions3.pdf (2006)
K. Imaeda e M. Imaeda, Sedenions : algebra and analysis , Applied Mathematics and Computation, 115: 77-88 (2000)