Diagrama de produto
Na geometria algébrica , o produto de dois diagramas (mais exatamente de dois diagramas acima do mesmo diagrama básico) é o equivalente aos produtos dos anéis, dos espaços vetoriais, dos espaços topológicos ... É uma ferramenta básica para construir diagramas, mudar de base etc. .
Definição
Fixamos um diagrama (chamado de diagrama básico) e consideramos a categoria de -schemes . Deixe ser dois esquemas. Em linguagem categórica, o (fibra) do produto de acima é simplesmente o produto de fibra de , na categoria de -schemas. Em termos mais concretos, o produto de fibra acima são os dados de um esquema -notado e de morfismos ( morfismos de projeção ) , satisfazendo a seguinte propriedade universal:
S{\ displaystyle S}
S{\ displaystyle S}
X,Y{\ displaystyle X, Y}
S{\ displaystyle S}
X,Y{\ displaystyle X, Y}
S{\ displaystyle S}
X→S{\ displaystyle X \ to S}
Y→S{\ displaystyle Y \ to S}
S{\ displaystyle S}
X,Y{\ displaystyle X, Y}
S{\ displaystyle S}
S{\ displaystyle S}
X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}
p:X×SY→X{\ displaystyle p: X \ times _ {S} Y \ a X}
q:X×SY→Y{\ displaystyle q: X \ times _ {S} Y \ to Y}![{\ displaystyle q: X \ times _ {S} Y \ to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5706a1d35314bf0d7387c6415e5c42008fec8291)
para qualquer -schema e para qualquer par de morfismos de -schemas e , existe um morfismo único tal que e .
S{\ displaystyle S}
Z{\ displaystyle Z}
S{\ displaystyle S}
f:Z→X{\ displaystyle f: Z \ a X}
g:Z→Y{\ displaystyle g: Z \ a Y}
h:Z→X×SY{\ displaystyle h: Z \ a X \ times _ {S} Y}
f=ph{\ displaystyle f = ph}
g=qh{\ displaystyle g = qh}
Proposição - O produto de fibra existe e é único até um único isomorfismo.
(X×SY,p,q){\ displaystyle (X \ times _ {S} Y, p, q)}![{\ displaystyle (X \ times _ {S} Y, p, q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8aae575dc9bde2459e9616a1739c116191c860)
Como qualquer solução de um problema universal, a exclusividade segue imediatamente a partir da definição. A existência é provada reduzindo-se ao produto de fibra de dois esquemas afins acima de um esquema afim. Usamos então o fato de que o produto tensorial de duas álgebras sobre um anel comutativo unitário é a soma na categoria das -álgebras, a categoria oposta da categoria dos esquemas afins.
NO{\ displaystyle A}
NO{\ displaystyle A}
NO{\ displaystyle A}![NO](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Avaliação. O produto de fibra é geralmente denotado por , os morfismos de projeção sendo implícitos. Se for afim, podemos substituir por na notação. O morfismo na propriedade universal acima é anotado .
X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}
S=SpevsNO{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} A}
S{\ displaystyle S}
NO{\ displaystyle A}
h:Z→X×SY{\ displaystyle h: Z \ a X \ times _ {S} Y}
(f,g){\ displaystyle (f, g)}![(f, g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a230d05990654b0fdcc68c1987f0cc6a27ead28c)
Primeiras propriedades
- Para qualquer diagrama , o aplicativoS{\ displaystyle S}
Z{\ displaystyle Z}![Z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd)
MorS(Z,X×SY)→MorS(Z,X)×MorS(Z,Y){\ displaystyle {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X \ times _ {S} Y) \ a {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X) \ times {\ rm { Mor}} _ {S} (Z, Y)}
definido por é bijetivo.
h↦(ph,qh){\ displaystyle h \ mapsto (ph, qh)}![{\ displaystyle h \ mapsto (ph, qh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1477657e3533b1fef1d31f1f905bc23cf01c2b9)
- Se e são afins, então e os morfismos de projeção são induzidos por homomorfismos de anel , definidos respectivamente por e .X=SpevsNO,Y=SpevsB{\ displaystyle X = {\ rm {Spec}} A, Y = {\ rm {Spec}} B}
S=SpevsR{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} R}
X×SY=Spevs(NO⊗RB){\ displaystyle X \ times _ {S} Y = {\ rm {Spec}} (A \ otimes _ {R} B)}
p,q{\ displaystyle p, q}
NO→NO⊗RB{\ displaystyle A \ to A \ otimes _ {R} B}
B→NO⊗RB{\ displaystyle B \ to A \ otimes _ {R} B}
no↦no⊗1{\ displaystyle a \ mapsto a \ otimes 1}
b↦1⊗b{\ displaystyle b \ mapsto 1 \ otimes b}![{\ displaystyle b \ mapsto 1 \ otimes b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8819042e8f2e20383e0f115f626339c56ab338bc)
- Se são as respectivas partes abertas de , então , e os morfismos de projeção de são apenas as restrições de .você,V{\ displaystyle U, V}
X,Y{\ displaystyle X, Y}
você×SV=p-1(você)∩q-1(V){\ displaystyle U \ times _ {S} V = p ^ {- 1} (U) \ cap q ^ {- 1} (V)}
você×SV{\ displaystyle U \ times _ {S} V}
p,q{\ displaystyle p, q}![p, q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953a97b9fe7d257c9666fb3cf6bf75380295e2cf)
- Temos isomorfismos canônicos
X×SY→Y×SX,{\ displaystyle X \ times _ {S} Y \ a Y \ times _ {S} X,}
(X×SY)×SZ→X×S(Y×SZ){\ displaystyle (X \ times _ {S} Y) \ times _ {S} Z \ a X \ times _ {S} (Y \ times _ {S} Z)}
- Se for um -schema, então temos um isomorfismo canônicoZ{\ displaystyle Z}
Y{\ displaystyle Y}![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
(X×SZ)×ZY→X×SY.{\ displaystyle (X \ times _ {S} Z) \ times _ {Z} Y \ a X \ times _ {S} Y.}
Exemplos
- Se forem álgebras sobre um campo . Então, é o diagrama -affine associado com -algebra .
NO,B{\ displaystyle A, B}
k{\ displaystyle k}
SpevsNO×kSpevsB{\ displaystyle {\ rm {Spec}} A \ times _ {k} {\ rm {SpecB}}}
k{\ displaystyle k}
k{\ displaystyle k}
NO⊗kB{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}![{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fd993dc69ff1522e0f5ab9bee031b47e15586c)
- Se e , então . Então .NO=k[T1,...,Tnão]{\ displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}
B=k[S1,...,Sm]{\ displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}
NO⊗kB=k[T1,...,Tnão,S1,...,Sm]{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}
NOknão×kNOkm=NOknão+m{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {n} \ times _ {k} {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {m} = {\ mathbb {A}} _ {k } ^ {n + m}}![{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {n} \ times _ {k} {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {m} = {\ mathbb {A}} _ {k } ^ {n + m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aead5a25bdcf249547907a1e34cf346ba11d6a09)
- Se e , então é o quociente de pelo ideal gerado por .NO=k[T1,...,Tnão]/eu{\ displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}
B=k[S1,...,Sm]/J{\ displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m}] / J}
NO⊗kB{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}
k[T1,...,Tnão,S1,...,Sm]{\ displaystyle k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}
eu,J{\ displaystyle I, J}![{\ displaystyle I, J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67646f95bd53d6dc4fdd22233a30ffc358c69248)
- O produto da linha projetiva por si só não é isomórfico ao plano projetivo . Este produto é quadrático isomórfico de . De maneira mais geral, o produto de duas variedades projetivas é uma variedade projetiva ( incorporação de Segre ).Pk1{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {1}}
Pk2{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {2}}
x0x3-x1x2=0{\ displaystyle x_ {0} x_ {3} -x_ {1} x_ {2} = 0}
Pk3{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {3}}![{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca7e58e374b52417a51302b0202253a4e4d1cd9)
-
SpevsVS×RSpevsVS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} {\ mathbb {C}} \ times _ {\ mathbb {R}} {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}
é uma variedade algébrica na qual possui exatamente dois pontos, enquanto cada componente possui apenas um.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
SpevsVS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}![{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e1859149a8854018616ac1f8cbb39efb219cc8)
Os pontos de não são os pontos do produto cartesiano em geral (cf. o exemplo acima de um produto acima consigo mesmo). Para variedades algébricas em um campo , temos
X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}
X×Y{\ displaystyle X \ times Y}
SpevsVS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
(X×kY)(k)=X(k)×Y(k).{\ displaystyle (X \ times _ {k} Y) (k) = X (k) \ vezes Y (k).}
Portanto, temos um bom controle dos pontos racionais. Porém, mesmo quando está algebraicamente fechado e nos restringimos a pontos fechados (os pontos fechados de está em bijeção com o produto cartesiano dos pontos fechados de e de , neste caso), a topologia de Zariski no produto (produto cartesiano) é estritamente mais fina do que a topologia do produto em geral. Por exemplo, se a linha estiver ativa . O plano afim também . A abertura de Zariski (a complementar da diagonal) não contém nenhuma abertura não vazia da forma com aberturas de .
k{\ displaystyle k}
X×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}
X{\ displaystyle X}
Y{\ displaystyle Y}
X×Y{\ displaystyle X \ times Y}
X=Y{\ displaystyle X = Y}
k{\ displaystyle k}
X×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}
Spevsk[t,s]{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k [t, s]}
D(t-s){\ displaystyle D (ts)}
você×V{\ displaystyle U \ times V}
você,V{\ displaystyle U, V}
NOk1{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {1}}![{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2dc1504437cd1957b5ed3cc31331492fab3ac5)
Mudança de bases
O conceito de mudança de bases é fundamental na teoria dos padrões. Deixe ser um -schema. Let Ser um morfismo de diagramas. Então, o produto de fibra fornecido com a segunda projeção é um esquema, e dizemos que é obtido pela troca de bases . O diagrama assim obtido é anotado . Mais geralmente, é um morfismo de -schémas, a fibra produzida por induz um morfismo de -schémas.
X→S{\ displaystyle X \ to S}
S{\ displaystyle S}
T→S{\ displaystyle T \ to S}
X×ST{\ displaystyle X \ times _ {S} T}
q:X×ST→T{\ displaystyle q: X \ times _ {S} T \ to T}
T{\ displaystyle T}
T→S{\ displaystyle T \ to S}
T{\ displaystyle T}
XT{\ displaystyle X_ {T}}
f:X→Y{\ displaystyle f: X \ a Y}
S{\ displaystyle S}
T{\ displaystyle T}
fT:XT→YY{\ displaystyle f_ {T}: X_ {T} \ para Y_ {Y}}
T{\ displaystyle T}![T](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
- Por exemplo, se for um homomorfismo de anéis (comutativos unitários), o espaço afim pode ser construído considerando a mudança de bases .B→VS{\ displaystyle B \ a C}
NOVSnão{\ displaystyle A_ {C} ^ {n}}
NOBnão{\ displaystyle A_ {B} ^ {n}}
SpevsVS→SpevsB{\ displaystyle {\ rm {Spec}} C \ to {\ rm {Spec}} B}![{\ displaystyle {\ rm {Spec}} C \ to {\ rm {Spec}} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ca3eb702a19742ce693293b542252dc347bf3a)
- Se é uma extensão do campo, torna-se, depois de mudar bases de dados , .K/k{\ displaystyle K / k}
Spevsk[T1,...,Tnão]/eu{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}
SpevsK→Spevsk{\ displaystyle {\ rm {Spec}} K \ to {\ rm {Spec}} k}
Spevs(K[T1,...,Tnão]/(eu)){\ displaystyle {\ rm {Spec}} (K [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}![{\ displaystyle {\ rm {Spec}} (K [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a72ca4ce12515a08e31aafef5828acc704e6f89)
- Da mesma forma, se torna .Projk[T0,...,Tnão]/eu{\ displaystyle {\ rm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / I}
Proj(K[T0,...,Tnão]/(eu)){\ displaystyle {\ rm {Proj}} (K [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}![{\ displaystyle {\ rm {Proj}} (K [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83704009f9fcef92082a6067a2952ad514f072c9)
Nestes dois exemplos, a mudança de base é dada por uma extensão de campo. Em seguida, falamos de extensão do campo base ou extensões de escalares . Por exemplo, uma cônica projetiva não singular torna-se isomorfismo à linha projetiva após uma extensão quadrática separável do campo base.
- If é uma variedade algébrica sobre um campo e if é uma extensão. Então é o conjunto de pontos racionais de .X{\ displaystyle X}
k{\ displaystyle k}
K/k{\ displaystyle K / k}
X(K)=XK(K){\ displaystyle X (K) = X_ {K} (K)}
XK{\ displaystyle X_ {K}}![{\ displaystyle X_ {K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c9b88cec45b355697837178bb3644fa980b4d8)
Fibras de um morfismo
Let Ser um morfismo de diagramas. Deixe ser um ponto. Ensemblistement, a fibra de in é o subconjunto de . O produto de fibra torna possível dotar canonicamente esse subconjunto de uma estrutura de esquema. Na verdade, temos um morfismo canônico , onde é o campo residual de en . Qualquer um . É um diagrama da segunda projeção. Mostramos que a projeção induz um homeomorfismo de sur . O esquema é denominado en fibre . O -schema pode então ser visto como a família de -schemas, ao atravessar os pontos de .
f:X→Y{\ displaystyle f: X \ a Y}
y∈Y{\ displaystyle y \ in Y}
f{\ displaystyle f}
y{\ displaystyle y}
f-1(y){\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}
X{\ displaystyle X}
Spevsk(y)→Y{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k (y) \ to Y}
k(y){\ displaystyle k (y)}
Y{\ displaystyle Y}
y{\ displaystyle y}
Xy: =X×YSpevsk(y){\ displaystyle X_ {y}: = X \ times _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y)}
k(y){\ displaystyle k (y)}
X×YSpevsk(y)→X{\ displaystyle X \ times _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y) \ to X}
Xy{\ displaystyle X_ {y}}
f-1(y){\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}
k(y){\ displaystyle k (y)}
Xy{\ displaystyle X_ {y}}
f{\ displaystyle f}
y{\ displaystyle y}
Y{\ displaystyle Y}
X{\ displaystyle X}
k(y){\ displaystyle k (y)}
y{\ displaystyle y}
Y{\ displaystyle Y}![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
Se for irredutível para o ponto genérico , a fibra é chamada de fibra genérica de . Se for um ponto fechado de , a fibra é chamada de fibra fechada (ou fibra especial quando é o espectro de um anel de valorização discreta ).
Y{\ displaystyle Y}
η{\ displaystyle \ eta}
Xη{\ displaystyle X _ {\ eta}}
f{\ displaystyle f}
y{\ displaystyle y}
Y{\ displaystyle Y}
Xy{\ displaystyle X_ {y}}
Y{\ displaystyle Y}![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
Exemplos
- As fibras do morfismo estrutural do espaço afim em são espaços afins .NOYnão{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {Y} ^ {n}}
Y{\ displaystyle Y}
NOk(y)não{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k (y)} ^ {n}}![{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k (y)} ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c97ffc10beaa9b242bbec5ce645ce91ce91f5b)
- Deixe onde é um número primo fixo. É um esquema. Sua fibra genérica é isomórfica à direita, refina menos a origem no corpo dos racionais porque é invertível em . Da mesma forma, sua fibra em primeiro lugar (correspondendo assim ao primeiro ideal ) é isomórfica à linha afim menos a origem no campo finito com os elementos. Por outro lado, sua fibra em , igual a é a união de duas retas afins ao se cruzarem transversalmente em um ponto. Esta fibra não é reduzida porque a classe de no quociente é nilpotente e não zero.X=Spevs(Z[t,s]/(ts2-p)){\ displaystyle X = {\ rm {Spec}} (\ mathbb {Z} [t, s] / (ts ^ {2} -p))}
p{\ displaystyle p}
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
p{\ displaystyle p}
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
eu{\ displaystyle l}
euZ{\ displaystyle l \ mathbb {Z}}
Feu{\ displaystyle F_ {l}}
eu{\ displaystyle l}
p{\ displaystyle p}
SpevsFp[t,s]/(ts2){\ displaystyle {\ rm {Spec}} F_ {p} [t, s] / (ts ^ {2})}
Fp{\ displaystyle F_ {p}}
ts{\ displaystyle ts}![{\ displaystyle ts}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dec908a9ec2ef3b707b0231f786c20c9f061aaf)
- Let Ser uma extensão de campos de número e deixe seus respectivos anéis de inteiros ser . Qualquer induzido pela inclusão de anéis de inteiros. Enquanto a extensão é não ramificada, ao longo de um primeiro ideal de se e apenas se a fibra em é um esquema reduzida.eu/K{\ displaystyle L / K}
OK,Oeu{\ displaystyle O_ {K}, O_ {L}}
f:SpevsOeu→SpevsOK{\ displaystyle f: {\ rm {Spec}} O_ {L} \ to {\ rm {Spec}} O_ {K}}
eu/K{\ displaystyle L / K}
p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
OK{\ displaystyle O_ {K}}
f{\ displaystyle f}
p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}![{\ mathfrak p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
- Se é uma curva elíptica na , sua equação mínima Weierstrass define um esquema projectiva em (que é ). Sua fibra em um número primo (visto como o ponto de ) é uma curva projetiva no corpo primo e é chamada de (ou melhor, a) redução de mod .E{\ displaystyle E}
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
ProjZ[X,Y,Z]/(Y2Z+no1XZY+no3Z2Y-(X3+no2X2Z+no4XZ2+no6Z3){\ displaystyle {\ rm {Proj}} \ mathbb {Z} [X, Y, Z] / (Y ^ {2} Z + a_ {1} XZY + a_ {3} Z ^ {2} Y- (X ^ {3} + a_ {2} X ^ {2} Z + a_ {4} XZ ^ {2} + a_ {6} Z ^ {3})}
p{\ displaystyle p}
pZ{\ displaystyle p \ mathbb {Z}}
SpevsZ{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {Z}}
Fp{\ displaystyle F_ {p}}
E{\ displaystyle E}
p{\ displaystyle p}![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">