Diagrama de produto

Na geometria algébrica , o produto de dois diagramas (mais exatamente de dois diagramas acima do mesmo diagrama básico) é o equivalente aos produtos dos anéis, dos espaços vetoriais, dos espaços topológicos ... É uma ferramenta básica para construir diagramas, mudar de base etc. .

Definição

Fixamos um diagrama (chamado de diagrama básico) e consideramos a categoria de -schemes . Deixe ser dois esquemas. Em linguagem categórica, o (fibra) do produto de acima é simplesmente o produto de fibra de , na categoria de -schemas. Em termos mais concretos, o produto de fibra acima são os dados de um esquema -notado e de morfismos ( morfismos de projeção ) , satisfazendo a seguinte propriedade universal: S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}X,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}X,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}X→S{\ displaystyle X \ to S}Y→S{\ displaystyle Y \ to S}S{\ displaystyle S}X,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}p:X×SY→X{\ displaystyle p: X \ times _ {S} Y \ a X}q:X×SY→Y{\ displaystyle q: X \ times _ {S} Y \ to Y}

para qualquer -schema e para qualquer par de morfismos de -schemas e , existe um morfismo único tal que e .S{\ displaystyle S}Z{\ displaystyle Z}S{\ displaystyle S}f:Z→X{\ displaystyle f: Z \ a X}g:Z→Y{\ displaystyle g: Z \ a Y}h:Z→X×SY{\ displaystyle h: Z \ a X \ times _ {S} Y}f=ph{\ displaystyle f = ph}g=qh{\ displaystyle g = qh}

Proposição  -  O produto de fibra existe e é único até um único isomorfismo. (X×SY,p,q){\ displaystyle (X \ times _ {S} Y, p, q)}

Como qualquer solução de um problema universal, a exclusividade segue imediatamente a partir da definição. A existência é provada reduzindo-se ao produto de fibra de dois esquemas afins acima de um esquema afim. Usamos então o fato de que o produto tensorial de duas álgebras sobre um anel comutativo unitário é a soma na categoria das -álgebras, a categoria oposta da categoria dos esquemas afins. NO{\ displaystyle A}NO{\ displaystyle A}NO{\ displaystyle A}

Avaliação. O produto de fibra é geralmente denotado por , os morfismos de projeção sendo implícitos. Se for afim, podemos substituir por na notação. O morfismo na propriedade universal acima é anotado . X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}S=SpevsNO{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} A}S{\ displaystyle S}NO{\ displaystyle A}h:Z→X×SY{\ displaystyle h: Z \ a X \ times _ {S} Y}(f,g){\ displaystyle (f, g)}

Primeiras propriedades

• Para qualquer diagrama , o aplicativoS{\ displaystyle S}Z{\ displaystyle Z}

MorS(Z,X×SY)→MorS(Z,X)×MorS(Z,Y){\ displaystyle {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X \ times _ {S} Y) \ a {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X) \ times {\ rm { Mor}} _ {S} (Z, Y)}

definido por é bijetivo. h↦(ph,qh){\ displaystyle h \ mapsto (ph, qh)}

• Se e são afins, então e os morfismos de projeção são induzidos por homomorfismos de anel , definidos respectivamente por e .X=SpevsNO,Y=SpevsB{\ displaystyle X = {\ rm {Spec}} A, Y = {\ rm {Spec}} B}S=SpevsR{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} R}X×SY=Spevs(NO⊗RB){\ displaystyle X \ times _ {S} Y = {\ rm {Spec}} (A \ otimes _ {R} B)}p,q{\ displaystyle p, q}NO→NO⊗RB{\ displaystyle A \ to A \ otimes _ {R} B}B→NO⊗RB{\ displaystyle B \ to A \ otimes _ {R} B}no↦no⊗1{\ displaystyle a \ mapsto a \ otimes 1}b↦1⊗b{\ displaystyle b \ mapsto 1 \ otimes b}
• Se são as respectivas partes abertas de , então , e os morfismos de projeção de são apenas as restrições de .você,V{\ displaystyle U, V}X,Y{\ displaystyle X, Y}você×SV=p-1(você)∩q-1(V){\ displaystyle U \ times _ {S} V = p ^ {- 1} (U) \ cap q ^ {- 1} (V)}você×SV{\ displaystyle U \ times _ {S} V}p,q{\ displaystyle p, q}
• Temos isomorfismos canônicos

X×SY→Y×SX,{\ displaystyle X \ times _ {S} Y \ a Y \ times _ {S} X,} (X×SY)×SZ→X×S(Y×SZ){\ displaystyle (X \ times _ {S} Y) \ times _ {S} Z \ a X \ times _ {S} (Y \ times _ {S} Z)}

• Se for um -schema, então temos um isomorfismo canônicoZ{\ displaystyle Z}Y{\ displaystyle Y}

(X×SZ)×ZY→X×SY.{\ displaystyle (X \ times _ {S} Z) \ times _ {Z} Y \ a X \ times _ {S} Y.}

Exemplos

• Se forem álgebras sobre um campo . Então, é o diagrama -affine associado com -algebra . NO,B{\ displaystyle A, B}k{\ displaystyle k}SpevsNO×kSpevsB{\ displaystyle {\ rm {Spec}} A \ times _ {k} {\ rm {SpecB}}}k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}NO⊗kB{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}
  • Se e , então . Então .NO=k[T1,...,Tnão]{\ displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}B=k[S1,...,Sm]{\ displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}NO⊗kB=k[T1,...,Tnão,S1,...,Sm]{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}NOknão×kNOkm=NOknão+m{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {n} \ times _ {k} {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {m} = {\ mathbb {A}} _ {k } ^ {n + m}}
  • Se e , então é o quociente de pelo ideal gerado por .NO=k[T1,...,Tnão]/eu{\ displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}B=k[S1,...,Sm]/J{\ displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m}] / J}NO⊗kB{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}k[T1,...,Tnão,S1,...,Sm]{\ displaystyle k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}eu,J{\ displaystyle I, J}
• O produto da linha projetiva por si só não é isomórfico ao plano projetivo . Este produto é quadrático isomórfico de . De maneira mais geral, o produto de duas variedades projetivas é uma variedade projetiva ( incorporação de Segre ).Pk1{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {1}}Pk2{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {2}}x0x3-x1x2=0{\ displaystyle x_ {0} x_ {3} -x_ {1} x_ {2} = 0}Pk3{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {3}}
• SpevsVS×RSpevsVS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} {\ mathbb {C}} \ times _ {\ mathbb {R}} {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}é uma variedade algébrica na qual possui exatamente dois pontos, enquanto cada componente possui apenas um.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}SpevsVS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}

Os pontos de não são os pontos do produto cartesiano em geral (cf. o exemplo acima de um produto acima consigo mesmo). Para variedades algébricas em um campo , temos X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y} X×Y{\ displaystyle X \ times Y}SpevsVS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}k{\ displaystyle k}

(X×kY)(k)=X(k)×Y(k).{\ displaystyle (X \ times _ {k} Y) (k) = X (k) \ vezes Y (k).}

Portanto, temos um bom controle dos pontos racionais. Porém, mesmo quando está algebraicamente fechado e nos restringimos a pontos fechados (os pontos fechados de está em bijeção com o produto cartesiano dos pontos fechados de e de , neste caso), a topologia de Zariski no produto (produto cartesiano) é estritamente mais fina do que a topologia do produto em geral. Por exemplo, se a linha estiver ativa . O plano afim também . A abertura de Zariski (a complementar da diagonal) não contém nenhuma abertura não vazia da forma com aberturas de . k{\ displaystyle k}X×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X×Y{\ displaystyle X \ times Y}X=Y{\ displaystyle X = Y}k{\ displaystyle k}X×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}Spevsk[t,s]{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k [t, s]}D(t-s){\ displaystyle D (ts)}você×V{\ displaystyle U \ times V}você,V{\ displaystyle U, V}NOk1{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {1}}

Mudança de bases

O conceito de mudança de bases é fundamental na teoria dos padrões. Deixe ser um -schema. Let Ser um morfismo de diagramas. Então, o produto de fibra fornecido com a segunda projeção é um esquema, e dizemos que é obtido pela troca de bases . O diagrama assim obtido é anotado . Mais geralmente, é um morfismo de -schémas, a fibra produzida por induz um morfismo de -schémas. X→S{\ displaystyle X \ to S}S{\ displaystyle S}T→S{\ displaystyle T \ to S}X×ST{\ displaystyle X \ times _ {S} T}q:X×ST→T{\ displaystyle q: X \ times _ {S} T \ to T}T{\ displaystyle T}T→S{\ displaystyle T \ to S}T{\ displaystyle T}XT{\ displaystyle X_ {T}}f:X→Y{\ displaystyle f: X \ a Y}S{\ displaystyle S}T{\ displaystyle T}fT:XT→YY{\ displaystyle f_ {T}: X_ {T} \ para Y_ {Y}}T{\ displaystyle T}

• Por exemplo, se for um homomorfismo de anéis (comutativos unitários), o espaço afim pode ser construído considerando a mudança de bases .B→VS{\ displaystyle B \ a C}NOVSnão{\ displaystyle A_ {C} ^ {n}}NOBnão{\ displaystyle A_ {B} ^ {n}}SpevsVS→SpevsB{\ displaystyle {\ rm {Spec}} C \ to {\ rm {Spec}} B}
• Se é uma extensão do campo, torna-se, depois de mudar bases de dados , .K/k{\ displaystyle K / k}Spevsk[T1,...,Tnão]/eu{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}SpevsK→Spevsk{\ displaystyle {\ rm {Spec}} K \ to {\ rm {Spec}} k}Spevs(K[T1,...,Tnão]/(eu)){\ displaystyle {\ rm {Spec}} (K [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}
• Da mesma forma, se torna .Projk[T0,...,Tnão]/eu{\ displaystyle {\ rm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / I}Proj(K[T0,...,Tnão]/(eu)){\ displaystyle {\ rm {Proj}} (K [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}

Nestes dois exemplos, a mudança de base é dada por uma extensão de campo. Em seguida, falamos de extensão do campo base ou extensões de escalares . Por exemplo, uma cônica projetiva não singular torna-se isomorfismo à linha projetiva após uma extensão quadrática separável do campo base.

• If é uma variedade algébrica sobre um campo e if é uma extensão. Então é o conjunto de pontos racionais de .X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}K/k{\ displaystyle K / k}X(K)=XK(K){\ displaystyle X (K) = X_ {K} (K)}XK{\ displaystyle X_ {K}}

Fibras de um morfismo

Let Ser um morfismo de diagramas. Deixe ser um ponto. Ensemblistement, a fibra de in é o subconjunto de . O produto de fibra torna possível dotar canonicamente esse subconjunto de uma estrutura de esquema. Na verdade, temos um morfismo canônico , onde é o campo residual de en . Qualquer um . É um diagrama da segunda projeção. Mostramos que a projeção induz um homeomorfismo de sur . O esquema é denominado en fibre . O -schema pode então ser visto como a família de -schemas, ao atravessar os pontos de . f:X→Y{\ displaystyle f: X \ a Y}y∈Y{\ displaystyle y \ in Y}f{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}f-1(y){\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}X{\ displaystyle X}Spevsk(y)→Y{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k (y) \ to Y}k(y){\ displaystyle k (y)}Y{\ displaystyle Y}y{\ displaystyle y}Xy: =X×YSpevsk(y){\ displaystyle X_ {y}: = X \ times _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y)}k(y){\ displaystyle k (y)}X×YSpevsk(y)→X{\ displaystyle X \ times _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y) \ to X}Xy{\ displaystyle X_ {y}}f-1(y){\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}k(y){\ displaystyle k (y)}Xy{\ displaystyle X_ {y}}f{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}k(y){\ displaystyle k (y)}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}

Se for irredutível para o ponto genérico , a fibra é chamada de fibra genérica de . Se for um ponto fechado de , a fibra é chamada de fibra fechada (ou fibra especial quando é o espectro de um anel de valorização discreta ). Y{\ displaystyle Y} η{\ displaystyle \ eta}Xη{\ displaystyle X _ {\ eta}}f{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}Xy{\ displaystyle X_ {y}}Y{\ displaystyle Y}

Exemplos

• As fibras do morfismo estrutural do espaço afim em são espaços afins .NOYnão{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {Y} ^ {n}}Y{\ displaystyle Y}NOk(y)não{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k (y)} ^ {n}}
• Deixe onde é um número primo fixo. É um esquema. Sua fibra genérica é isomórfica à direita, refina menos a origem no corpo dos racionais porque é invertível em . Da mesma forma, sua fibra em primeiro lugar (correspondendo assim ao primeiro ideal ) é isomórfica à linha afim menos a origem no campo finito com os elementos. Por outro lado, sua fibra em , igual a é a união de duas retas afins ao se cruzarem transversalmente em um ponto. Esta fibra não é reduzida porque a classe de no quociente é nilpotente e não zero.X=Spevs(Z[t,s]/(ts2-p)){\ displaystyle X = {\ rm {Spec}} (\ mathbb {Z} [t, s] / (ts ^ {2} -p))}p{\ displaystyle p}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}p{\ displaystyle p}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}eu{\ displaystyle l}euZ{\ displaystyle l \ mathbb {Z}}Feu{\ displaystyle F_ {l}}eu{\ displaystyle l}p{\ displaystyle p}SpevsFp[t,s]/(ts2){\ displaystyle {\ rm {Spec}} F_ {p} [t, s] / (ts ^ {2})}Fp{\ displaystyle F_ {p}}ts{\ displaystyle ts}
• Let Ser uma extensão de campos de número e deixe seus respectivos anéis de inteiros ser . Qualquer induzido pela inclusão de anéis de inteiros. Enquanto a extensão é não ramificada, ao longo de um primeiro ideal de se e apenas se a fibra em é um esquema reduzida.eu/K{\ displaystyle L / K}OK,Oeu{\ displaystyle O_ {K}, O_ {L}}f:SpevsOeu→SpevsOK{\ displaystyle f: {\ rm {Spec}} O_ {L} \ to {\ rm {Spec}} O_ {K}}eu/K{\ displaystyle L / K}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}OK{\ displaystyle O_ {K}}f{\ displaystyle f}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
• Se é uma curva elíptica na , sua equação mínima Weierstrass define um esquema projectiva em (que é ). Sua fibra em um número primo (visto como o ponto de ) é uma curva projetiva no corpo primo e é chamada de (ou melhor, a) redução de mod .E{\ displaystyle E}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}ProjZ[X,Y,Z]/(Y2Z+no1XZY+no3Z2Y-(X3+no2X2Z+no4XZ2+no6Z3){\ displaystyle {\ rm {Proj}} \ mathbb {Z} [X, Y, Z] / (Y ^ {2} Z + a_ {1} XZY + a_ {3} Z ^ {2} Y- (X ^ {3} + a_ {2} X ^ {2} Z + a_ {4} XZ ^ {2} + a_ {6} Z ^ {3})}p{\ displaystyle p}pZ{\ displaystyle p \ mathbb {Z}}SpevsZ{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {Z}}Fp{\ displaystyle F_ {p}}E{\ displaystyle E}p{\ displaystyle p}

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