Subvariedade Lagrangiana
As subvariedades Lagrangianas são análogas na geometria simplética dos subespaços Lagrangeanos na álgebra linear.
Sub-pacote Lagrangiano
Uma forma simplética em um feixe vetorial é uma seção não degenerada do feixe em qualquer ponto . Um sub-feixe vetorial de é considerado Lagrangiano quando as fibras são subespaços vetoriais Lagrangeanos das fibras , ou seja:
ω{\ displaystyle \ omega}
E→M{\ displaystyle E \ rightarrow M}
E∗∧E∗→M{\ displaystyle E ^ {*} \ wedge E ^ {*} \ rightarrow M}
F{\ displaystyle F}
E{\ displaystyle E}
Fx{\ displaystyle F_ {x}}
Ex{\ displaystyle E_ {x}}
∀você∈Fx,ωx(você,⋅)=0{\ displaystyle \ forall u \ in F_ {x}, \; \ omega _ {x} (u, \ cdot) = 0}
Exemplo: se é um pacote vetorial real, é naturalmente dotado de uma forma simplética dada por:
E→M{\ displaystyle E \ a M}
E⊕E∗→M{\ displaystyle E \ oplus E ^ {*} \ to M}
ω{\ displaystyle \ omega}
ω(v⊕v∗,C⊕C∗)=v∗(C)-C∗(v){\ displaystyle \ omega (v \ oplus v ^ {*}, w \ oplus w ^ {*}) = v ^ {*} (w) -w ^ {*} (v)}
O feixe é um sub-feixe Lagrangiano do feixe simplético .
E{\ displaystyle E}E⊕E∗{\ displaystyle E \ oplus E ^ {*}}
Subvariedades Lagrangianas
Se for uma subvariedade diferencial de , o feixe tangente se restringe a um feixe de classificação .
eu{\ displaystyle L}
M{\ displaystyle M}
TM→M{\ displaystyle TM \ rightarrow M}
eu{\ displaystyle L}não{\ displaystyle n}
Uma sub-variedade de uma variedade simplética é dita Lagrangiana quando o feixe vetorial é um sub-feixe Lagrangeano do feixe simplético .
eu{\ displaystyle L}(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}
Teu{\ displaystyle TL}
(TeuM,ω){\ displaystyle (T_ {L} M, \ omega)}
Exemplos:
- Qualquer curva de uma superfície fornecida com uma forma de área é uma subvariedade Lagrangiana dela.
- Let Ser um diferencial diferencial. Considere o formulário Liouville em diante . Se for uma forma diferencial em , seu gráfico é uma subvariedade Lagrangiana de iff é fechada.eu{\ displaystyle L} λ{\ displaystyle \ lambda}
T∗eu{\ displaystyle T ^ {*} L}
σ{\ displaystyle \ sigma}
eu{\ displaystyle L}Γ=σ(x),x∈eu{\ displaystyle \ Gamma = {\ sigma (x), x \ in L}}
(T∗eu,dλ){\ displaystyle (T ^ {*} L, d \ lambda)}
σ{\ displaystyle \ sigma}
Veja também
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