Espaço vetorial simplético

Em álgebra , um espaço vetorial é simplético quando é fornecido com uma forma simplética , ou seja, uma forma bilinear alternativa e não degenerada. O estudo desses espaços vetoriais apresenta algumas semelhanças com o estudo de espaços pré-hilbertianos reais, uma vez que também definimos a noção de ortogonalidade . Mas existem grandes diferenças, até porque cada vetor é ortogonal a si mesmo.

Espaços vetoriais simpléticos servem como modelos para definir variedades simpléticas , estudadas em geometria simplética . Os últimos são a estrutura natural da mecânica hamiltoniana .

Um espaço vetorial prehilbertiano complexo é automaticamente dotado de uma estrutura simplética como um espaço vetorial real. Em termos de variedades, o análogo é a noção de variedade Kähler .

Definição

Let Ser um espaço vetorial no campo de números reais (o caso geral será apresentado a seguir). Uma forma simplética em é uma forma bilinear alternada e não degenerada , ou seja: V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}ω:V×V→R{\ displaystyle \ omega: V \ times V \ to \ mathbb {R}}

• nós temos o personagem alternativo ω(você,você)=0,∀você∈V{\ displaystyle \ omega (u, u) = 0, \ quad \ forall u \ in V}

que às vezes é substituída por antissimetria : (essas duas propriedades são equivalentes);ω(você,v)=-ω(v,você),∀você,v∈V{\ displaystyle \ omega (u, v) = - \ omega (v, u), \ quad \ forall u, v \ in V}

• e nondegeneracy : .você≠0⟹ω(você,⋅)≠0{\ displaystyle u \ neq 0 \ implica \ omega (u, \ cdot) \ neq 0}

Um espaço vetorial simplético é um espaço vetorial fornecido com uma forma simplética  . (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}V{\ displaystyle V}ω{\ displaystyle \ omega}

Dois vetores são (simpleticamente) ortogonais quando . Por alternar o caráter de , qualquer vetor de é ortogonal a si mesmo. você,v∈V{\ displaystyle u, v \ in V}ω(você,v)=0{\ displaystyle \ omega (u, v) = 0}ω{\ displaystyle \ omega}v{\ displaystyle v}V{\ displaystyle V}

Proposição: Qualquer espaço vetorial simplético de dimensão finita é de dimensão real par.

Demonstração

Let Ser um espaço vetorial simplético de dimensão finita. Deixe ser uma base real de vetor . Seja a matriz representativa de , ou seja, para . Como não é degenerada, a matriz é invertível e, portanto, tem um determinante diferente de zero. Como é anti-simétrica, a matriz é anti - simétrica . Sabemos que o determinante de uma matriz antissimétrica de ordem ímpar é zero, o que é impossível. Portanto, é de dimensão uniforme.(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}(v1,...,vnão){\ displaystyle (v_ {1}, ..., v_ {n})}V{\ displaystyle V}[ωeu,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}ωeu,j: =ω(veu,vj){\ displaystyle \ omega _ {i, j}: = \ omega (v_ {i}, v_ {j})}eu,j=1,...,não{\ displaystyle i, j = 1, ..., n}ω{\ displaystyle \ omega}[ωeu,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}[ωeu,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}V{\ displaystyle V}◻{\ displaystyle \ square}

Nota  : a noção de matriz representativa de uma forma simplética não é idêntica à noção de matriz simplética .

Espaço vetorial simplético padrão

O espaço vetorial simplético de referência é o espaço onde, em base canônica , a forma simplética satisfaz as relações (R2não,ω){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}(e1,...,enão,f1,...,fnão){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}, f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}ω{\ displaystyle \ omega}

ω(eeu,fj)=-ω(fj,eeu)=δeuj{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, f_ {j}) = - \ omega (f_ {j}, e_ {i}) = \ delta _ {ij} \,} ω(eeu,ej)=ω(feu,fj)=0{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, e_ {j}) = \ omega (f_ {i}, f_ {j}) = 0 \,}.

A representação da matriz da forma simplética padrão é então:

[ωeu,j]=[0eunão-eunão0]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}] = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \ end {bmatrix}}}

onde denota a matriz de identidade de tamanho . eunão{\ displaystyle I_ {n}}não×não{\ displaystyle n \ times n}

Há alguma forma direções acopladas  : cada é ortogonal a todos os vetores de base, exceto . eeu{\ displaystyle e_ {i}}feu{\ displaystyle f_ {i}}

Uma variante do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt torna possível mostrar que qualquer espaço vetorial simplético de dimensão finita tem essa base, que geralmente recebe o nome de base de Darboux .

Subespaços vetoriais

Let Ser um espaço vetorial simplético. Let Ser um subespaço vetorial de . A perpendicular (simplética) de é, por definição, o subespaço vetorial (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}C⊂V{\ displaystyle W \ subset V}V{\ displaystyle V}C{\ displaystyle W}

Cω: ={v∈V|ω(v,C)=0,∀C∈C}{\ displaystyle W ^ {\ omega}: = \ {v \ in V | \ omega (v, w) = 0, \ forall w \ in W \}}.

O subespaço vetorial é dito: C{\ displaystyle W}

• simplético seC∩Cω={0}{\ displaystyle W \ cap W ^ {\ omega} = \ {0 \}}
• isotrópico seC⊂Cω{\ displaystyle W \ subset W ^ {\ omega}}
• coisotrópico seCω⊂C{\ displaystyle W ^ {\ omega} \ subset W}
• Lagrangian siCω=C{\ displaystyle W ^ {\ omega} = W}

Qualquer subespaço vetorial Lagrangiano de é: C{\ displaystyle W}(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}

• (máximo) isotrópico
• (mínimo) coisotrópico
• de dimensão metade daquela de .V{\ displaystyle V}

Espaço simplético em qualquer corpo

A definição de espaços simpléticos se estende sem alteração a qualquer campo com uma característica diferente de 2. Na característica 2, não há mais uma equivalência entre os caracteres alternativos e antismétricos.

Referências

• Ralph Abraham e Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ( ISBN  0-8053-0102-X ) .

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