Espiritual de Perseu

Em geometria , uma espiral de Perseus , às vezes mais comumente referida como uma seção espiral , é uma curva quadrada plana de equação

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = dx ^ {2} + ey ^ {2} + f. \,}

De forma equivalente, o Perseus espirais como curvas quárticas com um centro de simetria. As espirais de Perseu são casos de seções tóricas e incluem hipopótamos e ovais de Cassini . O nome vem do grego σπειρα, que significa toro.

Uma espiral de Perseu pode ser vista como a curva na interseção de um toro e um plano paralelo ao seu eixo de rotação, mas esta definição não inclui todos os casos, a menos que planos imaginários sejam permitidos.

As espirais de Perseu receberam seu nome do geômetra da Grécia Antiga Perseu (em), que as teria estudado por volta de 150 aC. JC, e seriam as primeiras seções tóricas a serem estudadas.

Equações

Nós nos damos a equação de um toro no espaço cujo eixo de simetria está no plano xy :

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + b ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} = 4b ^ {2} (x ^ {2} + z ^ {2}). \,}

fixamos z = c para obter a equação de uma espiral de Perseu:

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} = 4b ^ {2} (x ^ {2} + c ^ {2}). \,}

Aqui, o toro é formado pela rotação de um círculo com raio a cujo centro passa por outro círculo com raio b (se b for menor que a , há uma interseção). O parâmetro c designa a distância entre o plano de intersecção e o eixo de revolução. O conjunto de pontos da curva está vazio se c > b + a , o que corresponde ao caso em que o plano está muito longe para interceptar o toro.

Podemos escrever a equação na forma

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = dx ^ {2} + ey ^ {2} + f \,}

com o novo conjunto de parâmetros

{\ displaystyle d = 2 (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}), \ e = 2 (a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}), \ f = - (a + b + c) (a + bc) (ab + c) (abc). \,}

Em coordenadas polares , obtemos

{\ displaystyle (r ^ {2} -a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} = 4b ^ {2} (r ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + c ^ {2}) \,}

{\ displaystyle r ^ {4} = dr ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + er ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + f. \,}

Exemplos

Os hipopótamos e os ovais de Cassini são casos especiais de espirais de Perseu, como a lemniscata de Bernoulli .

Referências

( fr ) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Spiric section " ( veja a lista de autores ) .
(en) Eric W. Weisstein , “ Spiric Section ” , no MathWorld
"Spirique de Persée" em Mathcurve