Sistema anosov

Na teoria dos sistemas dinâmicos , um sistema Anosov é um sistema hiperbólico , que exibe uma dinâmica extremamente caótica .

Definição

Conceito de sistema dinâmico diferencial

Um sistema dinâmico diferencial é definido por um mapeamento um-para-um do espaço de fase do sistema para si mesmo, de modo que uma condição inicial esteja associada a um e apenas um estado futuro no tempo t (condição de determinismo ): $\ phi _ {t}: \ Gamma \ to \ Gamma$ $x_ {0}$

x (t) \ = \ \ phi _ {t} (x_ {0})

Quando o tempo t varia, esta bijeção gera um flow on , ou seja, um grupo contínuo com um parâmetro como: $\Gama$ $\ phi _ {t}$

\ phi_0 \ = \ \ mathrm {Id}

\ forall \ (t, s) \, \ in \, \ mathbb {R} ^ 2 \, \ quad \ phi_t \ \ circ \ phi_s \ = \ \ phi_ {t + s}

Esta modelagem matemática corresponde, por exemplo, ao fluxo hamiltoniano da mecânica clássica , bem como ao fluxo geodésico em uma variedade Riemanniana .

A propriedade da hiperbolicidade

A hiperbolicidade do espaço de fase foi demonstrada por Dmitri Anosov por analogia com o fluxo geodésico de superfícies com curvatura negativa de geometria hiperbólica .

Normalmente para um fluxo hamiltoniano, a hipersuperfície de energia constante do espaço de fase admite quase em todos os lugares uma decomposição do tipo: $S_E$

S_E \ = \ E_0 \ \ oplus \ E_S \ \ oplus \ E_I

ou :

$E_0$ é uma variedade unidimensional na direção do fluxo.
$E_S$ é o subespaço das direções estáveis , direções perpendiculares ao fluxo. Para uma perturbação direcionada nessas direções, há uma contração exponencial em direção ao futuro, que corresponde a expoentes de Lyapunov negativos (esta variedade é, portanto, instável em relação ao passado).
$E_I$ é o subespaço de direções instáveis , direções também perpendiculares ao fluxo. Para uma perturbação direcionada nessas direções, há uma expansão exponencial em direção ao futuro, que corresponde a expoentes de Lyapunov positivos (esta variedade é, portanto, estável em relação ao passado.).

O fato de necessariamente existirem certas direções de contração complementares às direções de dilatação pode ser visto como uma consequência do teorema de Liouville , que diz que o fluxo hamiltoniano preserva o volume no espaço de fase.

Para um sistema caótico dissipativo, não há necessariamente direções de contração em todo o espaço de fase, mas em geral há pelo menos um subconjunto " atrator " neste espaço de fase no qual a dinâmica é quase hiperbólica.

Bibliografia

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Livros de iniciação

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Mais trabalhos técnicos

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Biblioteca virtual

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(pt) David Ruelle , “teoria ergódica de sistemas dinâmicos diferenciáveis”, Publ. Matemática. IHES , vol. 50, 1979, pág. 27-58 [ ler online ]