Atrator

No estudo de sistemas dinâmicos , um atrator (ou conjunto limite ) é um conjunto ou espaço para o qual um sistema evolui irreversivelmente na ausência de perturbações . Constituintes básicos da teoria do caos , pelo menos cinco tipos são definidos: pontual, quase periódico, periódico, estranho e espacial. Stephen Smale estaria na origem do termo atrator .

Interesse

Nem sempre é possível calcular com precisão o comportamento de um sistema composto por um número muito grande de elementos em interação (por exemplo, um plasma ), mas se conseguirmos determinar um atrator, seremos capazes de lidar até certo ponto com o problema trabalhando nisso. Este método mostra-se útil, no que diz respeito ao plasma , nos cálculos de contenção tokamak .

Alguns atratores específicos também explicam casos de passagem de um estado caótico para um estado ordenado, como é o caso da formiga de Langton ou dos planadores no jogo da vida de Conway. Como regra geral, conhecer os atratores torna possível saber parcialmente (pelo menos estatisticamente) o que emergirá do caos, enquanto o conhecimento dos elementos individuais do sistema caótico não ajuda particularmente.

Definição

Seja um sistema dinâmico com o espaço de tempo ( sendo tempo real contínuo ou discreto) e o espaço de fases. Um estado evolui pelo fluxo de acordo com a trajetória . Um fluxo e suas trajetórias associadas podem ser gerados pela iteração de uma função ( dinâmica discreta ), as soluções de uma equação diferencial ou de uma equação diferencial parcial . $\ Phi: U \ subconjunto T \ vezes M \ a M$ $T$ $t \ in T$ $M$ $x \ em M$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {t}}$ ${\ displaystyle t \ mapsto \ Phi ^ {t} (x): = \ Phi (t, x)}$

Existem várias definições de atrator, dependendo do autor ou do contexto.

Atrator local

Um conjunto é um atrator (local) se ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subconjunto M}$

${\ mathcal {A}}$ é positivamente invariante, ou seja, para todos ${\ displaystyle \ Phi ^ {t} ({\ mathcal {A}}) = {\ mathcal {A}}}$ $t> 0$
${\ mathcal {A}}$ atrai um bairro de si mesmo, que é dizer que um open recipiente tal que para qualquer aberto recipiente , existe de tal forma que para todos , . Mais simplesmente, para um espaço métrico, a distância entre e tende para 0 quando tende para , ${\ mathcal {B}}$ ${\ mathcal {A}}$ ${\ mathcal {N}}$ ${\ mathcal {A}}$ ${\ displaystyle t_ {0} \ in T}$ ${\ displaystyle t \ geq t_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {t} ({\ mathcal {B}}) \ subset {\ mathcal {N}}}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {t} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ mathcal {A}}$ $t$ $+ \ infty$

A bacia de atração de é a união de todos os conjuntos atraídos . Existem algumas variações desta definição principal, normalmente na forma da invariância necessária. ${\ mathcal {A}}$ ${\ mathcal {B}}$ ${\ mathcal {A}}$

Um ponto fixo atraente é um exemplo típico de atrator local, que é reduzido a um singleton.

Atrator global

Um atrator global é um atrator cuja bacia de atração é todo o espaço de fase . Portanto, contém toda a dinâmica assintótica e também todas as trajetórias invariantes, como pontos de equilíbrio, trajetórias periódicas, ciclos de limite, etc. $M$

Conjuntos e -limites e atratores de pontos $\alfa$ $\ómega$

Se for um elemento de , denote o conjunto -limit do qual é o conjunto de pontos de acumulação da órbita de $x$ $M$ ${\ displaystyle \ omega (x)}$ $\ómega$ $x$ $x$ ${\ displaystyle \ omega (x): = \ {y \ in M, ~ \ exists (t_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subconjunto T, t_ {n} \ rightarrow + \ infty , \ Phi ^ {t_ {n}} (x) \ rightarrow y \}.}$

Da mesma forma, denota o conjunto -limit de $\ alpha (x)$ $\alfa$ $x$

${\ displaystyle \ alpha (x): = \ {y \ in M, ~ \ exists (t_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subconjunto T, t_ {n} \ rightarrow - \ infty , \ Phi ^ {t_ {n}} (x) \ rightarrow y \}.}$

Esses dois conjuntos descrevem o comportamento assintótico, passado ou futuro, de um ponto no espaço de fase. Chamamos atrator futuro o menor conjunto contendo todos os conjuntos com , com a possível exceção de um conjunto de medida zero. O atrator passado corresponde à mesma definição, mas desta vez com os conjuntos -limit. ${\ displaystyle \ omega (x)}$ $x \ em M$ $\alfa$

Observe que os atratores passados e futuros não são necessariamente atratores no sentido clássico. Se, por exemplo, um fluxo contém um ponto de equilíbrio instável do tipo ponto de sela que está conectado a um ponto de equilíbrio estável por uma órbita heteroclínica, então o atrator futuro pode ser exatamente os dois equilíbrios (quando todos os pontos de são atraídos por um desses equilíbrios), mas um atrator local ou global no sentido clássico também contém a trajetória heteroclínica. $M$

Exemplos de atratores

Iteração de funções

O estudo de sequências iterativas é importante para muitos métodos e estamos particularmente interessados na existência de um atrator simples como um ponto fixo . Mas tal sistema dinâmico também pode ter comportamentos caóticos , como mostrado pelo exemplo do atrator Hénon . $x _ {{n + 1}} = f (x_ {n})$

Equações diferenciais

Muitos sistemas derivados da física são modelados por equações diferenciais ordinárias . Os sistemas de dissipação de energia naturalmente têm atratores muito simples, como o pêndulo amortecido . Mas para sistemas mais complexos como os derivados da meteorologia , podemos obter atratores caóticos, veja o famoso exemplo do atrator Lorenz , mas também do atrator Rössler .

Equações diferenciais parciais

Para uma equação diferencial parcial , o espaço de fase é de dimensão infinita. Para obter um atrator, o sistema deve dissipar energia e ter certas propriedades de compactação . O atrator pode então ser de dimensão finita, mostrando que o estudo assintótico do sistema pode ser reduzido a um sistema de dimensão finita. Este é o caso com equações parabólicas , equações de onda amortecida ou mesmo equações de Navier-Stokes .

Atrator estranho

A forma de um atrator estranho "não é uma curva nem uma superfície e nem mesmo é contínua, mas reconstruída ponto a ponto de forma descontínua pela dinâmica que, embora aparentemente desordenada, reconstitui este tipo especial de ordem." . É um objeto matemático abstrato (ou seja, não pode ser observado na natureza) que modela um ou mais parâmetros do sistema em estudo. Mesmo que a forma seja considerada "estranha", ela permite o estudo de fenômenos aparentemente desordenados que são influenciados por restrições determinísticas. A estabilidade desse atrator é consequência da estrutura subjacente do sistema. O estranho atrator é usado para "elucidar os mecanismos fundamentais de turbulência, reações químicas, previsões do tempo, a genética das populações bacterianas" .

O termo "atrator estranho" foi cunhado por David Ruelle e Floris Takens (in) para categorizar atratores criados como resultado de bifurcações de um sistema que descreve o fluxo de um fluido.

Atrator estranho não caótico

Foi em 1984 que os cientistas Grebogi, Ott, Pelikan e Yorke introduziram a noção de atrator não caótico estranho ( SNA ). Um atrator estranho não caótico , mesmo que se torne estranho quando converge para um limite , não é diferenciável por partes e seu expoente de Lyapunov é negativo ou zero (é, portanto, estável ou mesmo não caótico ). Portanto, não é muito sensível às condições iniciais . Ele pode ser diferenciado de um atrator periódico, quase-periódico e caótico pela aplicação do teste 0-1 da teoria do caos.

Sistemas não lineares amortecidos periódicos podem exibir comportamentos dinâmicos complexos, comportamentos que podem ser caracterizados por atratores estranhos caóticos (onde "estranho" indica a geometria fractal do atrator, enquanto "caótico" indica a sensibilidade exponencial das órbitas do atrator). Os sistemas quasi-periódicos sujeitos a frequências muito altas são uma extensão natural dos sistemas periódicos; são a sede de fenômenos mais numerosos e complexos. Além dos movimentos periódicos e quase periódicos, os estranhos atratores desses sistemas podem exibir movimentos caóticos e não caóticos. A primeira experiência que demonstrou a existência física de um ANS data de 1990: uma fita magnetoelástica foi submetida, de forma quase periódica, a dois sinais de frequências muito altas. Desde então, os ANS têm sido observados em laboratórios, seja em fitas magnetoelásticas, células eletroquímicas , circuitos eletrônicos , descargas de luz de tubos de néon e, em 2015, nos pulsos da estrela variável tipo RR. Lyrae KIC 5520878, que é provavelmente o primeiro ANS observada em um objeto natural. A intensidade luminosa da estrela KIC 5520878 varia periodicamente de acordo com duas frequências independentes cuja relação se aproxima da relação áurea .

Notas e referências

( fr ) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Strange nonchaotic atrator " ( veja a lista de autores ) .

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Veja também

Bibliografia

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Link externo

(pt) Atratores estranhos polinomiais (galeria)