Teoria das bifurcações

A teoria das bifurcações em matemática e física é o estudo de certos aspectos dos sistemas dinâmicos . Uma bifurcação ocorre quando uma pequena mudança em um parâmetro físico produz uma grande mudança na organização do sistema.

Caixas de concreto

Exemplos clássicos de uma bifurcação em ciências puras são, por exemplo, os ritmos circadianos de populações animais em biologia teórica e soluções meteorológicas em matemática e física não linear; em ciências de engenharia, há também a flambagem de uma viga elástica (o experimento pode ser feito com uma escola regra) ou as transições de fase dos materiais (temperatura crítica de bifurcação, concentração crítica).

Caso da viga: se a viga for ligeiramente comprimida, ela permanecerá reta. De repente, além de um limite bem definido, a viga se dobrará mais e mais conforme a força exercida é aumentada. Há, portanto, bifurcação, ou quebra de simetria, onde se passa do estado "feixe reto" para o estado "feixe curvo", seja em uma direção, seja na outra, com uma certa probabilidade (d 'onde a ideia de Bifurcação). Antes da bifurcação, o estado de "feixe reto" era estável, após a bifurcação torna-se instável.

Um exemplo de magnetismo é a temperatura de Curie para uma transição de fase: além dessa temperatura, um material perde sua magnetização espontânea.

Tomando maionese: o organismo, no estado líquido, contém óleo e água (na gema do ovo). A mistura forma uma emulsão de óleo e água, onde a quantidade relativa dos dois varia lentamente à medida que o óleo é adicionado. A maionese endurece quando o líquido se transforma em gel (uma bifurcação chamada de mudança de fase na física), e isso acontece para uma proporção crítica de água / óleo.

Definição

Considere um sistema de equações diferenciais:

$\ dot x = f (x, \ lambda) \ quad f: \ mathbb {R} ^ n \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n.$

$\ lambda$ é aqui o parâmetro que controla a bifurcação (a força exercida no exemplo anterior). Dizemos que há uma bifurcação em se, em um valor de arbitrariamente próximo a , existe uma dinâmica topologicamente não equivalente àquela em . $\ lambda_0$ $\ lambda$ $\ lambda_0$ $\ lambda_0$

Tipos de bifurcação

A teoria das bifurcações consiste em classificar os diferentes tipos de bifurcações em classes. Cada classe corresponde a uma certa simetria do problema. Entre os diferentes tipos de bifurcações, encontramos:

As bifurcações “fork” (em inglês: “pitchfork”). Um equilíbrio estável é desestabilizado em um equilíbrio instável e dois equilíbrios estáveis são criados. Esta transição pode ser feita supercriticamente (contínua e previsivelmente) ou subcriticamente (descontínua, com fenômenos de histerese )
Bifurcações col-node (em inglês: "saddle-node"). Existem dois pontos de equilíbrio (um estável e um instável) antes da bifurcação. Após a bifurcação, não existe mais equilíbrio.
As bifurcações de Hopf . Eles são bifurcações oscilantes, como o atrator Lorenz .
Bifurcações de duplicação do período. Essas são bifurcações que levam a um comportamento caótico . Eles podem ser obtidos, por exemplo, quicando uma bola de pingue-pongue em uma superfície oscilante e aumentando a frequência de oscilação.

Cada uma dessas bifurcações é caracterizada por uma forma normal, que é a equação geral típica desse tipo de bifurcação. Por exemplo, a forma normal de uma bifurcação de forquilha supercrítica é:

$\ frac {dx} {dt} = rx-x ^ 3.$ Para valores negativos de , é a única solução estacionária. Pois , existem duas soluções estacionárias estáveis . $r$ $x = 0$ $r> 0$ $x = \ pm \ sqrt {r}$

Notas e referências

Janine Guespin-Michel , “ The bifurcations: example of mayonnaise ” , em www.revolutionducomplexe.fr (acessado em 3 de dezembro de 2016 )

Veja também

links externos

http://www.scholarpedia.org/article/Bifurcation