Junção de Hopf

Na teoria da bifurcação , uma bifurcação Hopf ou Poincaré - Andronov - Hopf , em homenagem a Henri Poincaré , Eberhard Hopf e Aleksandr Andronov , é uma bifurcação local na qual um ponto fixo de um sistema dinâmico perde sua estabilidade, enquanto 'um par de autovalores complexos conjugados de linearização em torno do ponto fixo cruza o eixo imaginário do plano complexo .

Para uma visão geral mais geral das bifurcações de Hopf e suas aplicações, em particular em física e eletrônica, consulte.

Definição

Bifurcação Hopf supercrítica / subcrítica

O ciclo orbital (oscilante) é estável se a quantidade específica chamada de primeiro expoente de Lyapunov for negativa (ou seja, qualquer pequeno desvio aplicado a um ponto no ciclo limite diminui exponencialmente para a primeira ordem), e a bifurcação de Hopf é considerada super- crítico. Caso contrário (primeiro zero ou expoente de Lyapunov positivo), o ciclo limite é instável e a bifurcação é considerada subcrítica.

A forma canônica de uma bifurcação de Hopf é:

{\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),}

Onde z , b são complexos e λ é um parâmetro. Vamos posar

{\ displaystyle b = \ alpha + i \ beta. \,}

O número α é chamado de primeiro expoente de Lyapunov.

Se α for negativo, então existe um ciclo limite estável para λ > 0:

{\ displaystyle z (t) = re ^ {i \ omega t} \,}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {e}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,}

A bifurcação é então considerada supercrítica.

Se α é positivo, então o ciclo limite é instável para λ <0. A bifurcação é considerada subcrítica .

Observações

A "menor reação química exibindo uma bifurcação de Hopf" foi observada em 1995 em Berlim, Alemanha. O mesmo sistema bioquímico foi usado para estudar como uma bifurcação de Hopf pode nos dizer sobre a dinâmica subjacente de um sistema.

Referências

(em) Steven H. Strogatz , Nonlinear Dynamics and Chaos , Editora Addison Wesley,1994
(em) Yuri A. Kuznetsov , Elements of Applied Bifurcation Theory , New York, Springer-Verlag,2004, 634 p. ( ISBN 0-387-21906-4 , apresentação online )
(em) J. Hale e H. Koçak , Dynamics and bifurcations , vol. 3, New York, Springer-Verlag, col. "Textos em Matemática Aplicada",1991
J. Guckenheimer , M. Myers e B. Sturmfels , " Computing Hopf Bifurcations I ", SIAM Journal on Numerical Analysis ,1997
(em) E. Hairer , SP Norsett e G. Wanner , Resolvendo equações diferenciais ordinárias I: problemas não rígidos , New York, Springer-Verlag,1993, Segunda ed.
T. Wilhelm e R. Heinrich , “ Menor sistema de reação química com bifurcação de Hopf ”, Journal of Mathematical Chemistry , vol. 17, n o 1,1995, p. 1-14 ( DOI 10.1007 / BF01165134 , leia online )
PDW Kirk , T. Toni e MP Stumpf , “ Parâmetro inferência para sistemas bioquímicos que sofrem uma bifurcação de Hopf ”, Biophysical Journal , vol. 95, n o 22008, p. 540–549 ( PMID 18456830 , PMCID 2440454 , DOI 10.1529 / biophysj.107.126086 , leia online )

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