Tensão magnética

No eletromagnetismo , é mostrado que a densidade de volume da força de Laplace pode ser decomposta em dois termos, um é chamado de tensão magnética , o outro é a pressão magnética . Dimensionalmente, a tensão magnético é equivalente a uma densidade de volume de força expressa em N . m −3 . Sua unidade no Sistema Internacional é Pa · m −1 . Sua expressão, nos dois principais sistemas de unidades, é:

{\ displaystyle {\ frac {\ left (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {B}} {\ mu _ {0}}} \, ({\ text {SI}}) \ qquad {\ frac {(\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B}} {4 \ pi}} \, ({\ text {cgs}})}

A tensão magnética funciona tendendo a endireitar as linhas do campo magnético dobrado. Ele se comporta como uma força restauradora, ou seja, tende a trazer o sistema de volta ao estado de equilíbrio.

A pressão magnética é identificada com a densidade de volume da energia magnética ; aumenta quando as linhas do campo magnético se estreitam (isso pode ser explicado usando a lei de Maxwell-Thomson , ou seja , a conservação do fluxo do campo magnético em uma superfície fechada). A tensão magnética, por sua vez, está associada às variações espaciais do campo magnético e, mais particularmente, à curvatura das linhas do campo magnético. ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {B} = 0}$

Uso em física de plasma

O estresse magnético é particularmente importante na física do plasma e na magnetohidrodinâmica , onde as linhas do campo magnético podem ser vistas como objetos dinâmicos que possuem elasticidade , deformando-se sob os efeitos da pressão hidrodinâmica e efeitos eletromagnéticos (força de Laplace). Na física do plasma , a densidade do volume da força de Laplace é escrita

{\ displaystyle \ mathbf {f} _ {L} = \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}}

Usando a equação de Maxwell-Ampere , podemos eliminar a densidade de corrente e obter ${\ mathbf {J}}$

{\ displaystyle \ mathbf {f} _ {L} = {\ frac {(\ mathbf {B} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B}} {\ mu _ {0}}} - \ nabla {\ frac {\ mathbf {B} ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}},}

O primeiro termo é a voltagem magnética e o segundo é o gradiente da pressão magnética . ${\ displaystyle P_ {B} = {\ frac {B ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}}}$

Interpretação geométrica

A expressão da voltagem magnética pode ser reescrita para revelar o raio de curvatura das linhas do campo magnético. Chamando a abscissa curvilínea ao longo de uma linha de campo magnético e, respectivamente, os vetores unitários tangente e normal à linha de campo, obtemos: ${\ displaystyle \ mathbf {T_ {B}} = (\ mathbf {B} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} / \ mu _ {0}}$ ${\ mathcal {R}}$ $s$ ${\ displaystyle \ mathbf {t}, \ mathbf {n}}$

{\ displaystyle \ mathbf {T_ {B}} = {\ frac {\ mathbf {B} {\ frac {d} {ds}} (B \ mathbf {t})} {\ mu _ {0}}} = {\ frac {d} {ds}} ({\ frac {B ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}}) \ mathbf {t} + {\ frac {B ^ {2}} {\ mu _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {n}} {\ mathcal {R}}}}

A tensão magnética, portanto, se divide em dois termos. A primeira é a derivada da pressão magnética tomada "ao longo" da linha de campo , ou seja, o gradiente da pressão magnética projetada ao longo da linha de campo. ${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} ({\ frac {B ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}}) \ mathbf {t} = {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ parallel} P _ {\ mathbf {B}}}$

A expressão final da densidade de volume de força de Laplace é:

{\ displaystyle \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ perp} P _ {\ mathbf {B}} + {\ frac {2P _ {\ mathbf { B}}} {\ mathcal {R}}} \ mathbf {n}}

Os dois membros à direita são bem ortogonais a , ortogonais às linhas de campo magnético e tendem a empurrar as linhas de campo para fora, onde a pressão magnética é menos forte, onde a curvatura é menos forte. ${\ mathbf {B}}$

Link com o tensor de estresse de Maxwell

O tensor das tensões de Maxwell fornece uma descrição mais completa dos efeitos dinâmicos em um campo eletromagnético (campo elétrico e campo magnético).

A expressão de força de Lorentz para uma partícula carregada

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}

é modificado no caso geral de uma distribuição de volume de carga e corrente:

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}}

Usando as equações de Maxwell , podemos eliminar as cargas e correntes:

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} + (\ mathbf {E} \ cdot { \ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {E} \ right] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B }) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} \ right] - {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ nabla }} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \ right).}

Este resultado é reescrito de uma forma mais compacta usando o tensor de tensão de Maxwell ,

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} \ equiv \ epsilon _ {0} \ left (E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} E ^ {2} \ right) + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} B ^ { 2} \ right).}

Todos os termos, exceto o último da expressão da densidade de volume de força , podem ser colocados na forma de uma divergência , a divergência do tensor das restrições de Maxwell: ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

{\ displaystyle \ mathbf {f} + \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {S}} {\ partial t}} \, = \ nabla \ cdot \ mathbf {\ sigma}}

nos quais a densidade de volume de força electromagnética, dependendo do esforço tensor de Maxwell , e o vector de Poynting . Observe que o vetor é chamado de densidade de pulso eletromagnético. A tensão magnética agora está implicitamente representada no tensor . A última equação escrita nada mais é do que a expressão da conservação do momento eletromagnético. Aqui, é a densidade de fluxo de pulso e desempenha um análogo papel ao de no teorema de Poynting . $\ sigma _ {{ij}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} / \ mu _ {0}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} \ mathbf {S} = \ mathbf {S} / c ^ {2}}$ $\ sigma _ {{ij}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {\ sigma}}$ ${\ mathbf {S}}$

Veja também

Referências

[Rax] Jean-Marcel Rax, Física do plasma , Paris, Dunod , col. "Sup Sciences",2005, 440 p. , 17 x 24 cm ( ISBN 2-10-007250-1 )