Teorema de Fubini

Em matemática , e mais precisamente em análise , o teorema de Fubini fornece informações sobre o cálculo de integrais definidas em conjuntos produzidos e permite o cálculo de tais integrais. Isso indica que sob certas condições, para integrar uma função com várias variáveis , uma pode integrar as variáveis uma após a outra.

Afirmações

Fubini - Teorema de Tonelli - Sejam e sejam dois espaços medidos tais que as duas medidas sejam σ-finitas e sejam o espaço mensurável do produto fornecido com a medida do produto . sim ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}}, \ nu)}$ ${\ displaystyle (X \ times Y, {\ mathcal {A}} \ times {\ mathcal {B}}, \ mu \ times \ nu)}$

f: X \ vezes Y \ rightarrow [0, + \ infty]

é um aplicativo - mensurável , então os aplicativos

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ times {\ mathcal {B}}}

x \ mapsto \ int_Y f (x, y) ~ \ mathrm d \ nu (y) \ quad \ text {et} \ quad y \ mapsto \ int_X f (x, y) ~ \ mathrm d \ mu (x)

são respectivamente - e -mensuráveis e ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal B}$

\ int_ {X \ times Y} f (x, y) ~ \ mathrm d (\ mu \ times \ nu) (x, y) = \ int_X \ left [\ int_Y f (x, y) ~ \ mathrm d \ nu (y) \ right] ~ \ mathrm d \ mu (x) = \ int_Y \ left [\ int_X f (x, y) ~ \ mathrm d \ mu (x) \ right] ~ \ mathrm d \ nu (y )

Teorema de Fubini- Lebesgue - Sejam e sejam dois espaços completos medidos (não necessariamente σ-finito) e o espaço mensurável produzido dotado de uma medida de produto ζ. sim ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}}, \ nu)}$ ${\ displaystyle (X \ times Y, {\ mathcal {A}} \ times {\ mathcal {B}}, \ zeta)}$

f: X \ times Y \ rightarrow \ R

é ζ- integrável , então as funções

x \ mapsto \ int_Y f (x, y) ~ \ mathrm d \ nu (y) \ quad \ text {et} \ quad y \ mapsto \ int_X f (x, y) ~ \ mathrm d \ mu (x)

(definidos em quase todos os lugares ) são respectivamente μ- e ν-integráveis e

\ int_ {X \ vezes Y} f (x, y) ~ \ mathrm d \ zeta (x, y) = \ int_X \ left [\ int_Y f (x, y) ~ \ mathrm d \ nu (y) \ right ] ~ \ mathrm d \ mu (x) = \ int_Y \ left [\ int_X f (x, y) ~ \ mathrm d \ mu (x) \ right] ~ \ mathrm d \ nu (y).

O primeiro teorema é falso se não assumirmos as medidas σ-finitas.

No caso particular em que um dos dois espaços é ℕ equipado com a tribo discreta e a medida de contagem , encontramos, respectivamente, o teorema da convergência monotônica e o corolário do teorema da convergência dominada para a série de funções .

Implementação

Quando as duas medidas são σ-finitas, o uso do teorema de Fubini-Tonelli freqüentemente torna possível demonstrar que uma função mensurável é integrável. Na verdade, para -mensurável, podemos aplicar o teorema de Fubini-Tonelli , que dá $f: X \ times Y \ rightarrow \ R$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ times {\ mathcal {B}}}$ $| f |$

\ int_ {X \ vezes Y} | f (x, y) | ~ \ mathrm d (\ mu \ vezes \ nu) (x, y) = \ int_X \ left [\ int_Y | f (x, y) | ~ \ mathrm d \ nu (y) \ right] ~ \ mathrm d \ mu (x) = \ int_Y \ left [\ int_X | f (x, y) | ~ \ mathrm d \ mu (x) \ right] ~ \ mathrm d \ nu (y).

portanto, se uma das integrais for finita, então todas as três são e são integráveis. $f$

Temos então, de acordo com o teorema de Fubini-Lebesgue

\ int_ {X \ times Y} f (x, y) ~ \ mathrm d (\ mu \ times \ nu) (x, y) = \ int_X \ left [\ int_Y f (x, y) ~ \ mathrm d \ nu (y) \ right] ~ \ mathrm d \ mu (x) = \ int_Y \ left [\ int_X f (x, y) ~ \ mathrm d \ mu (x) \ right] ~ \ mathrm d \ nu (y ),

o que facilita o cálculo da integral.

Formulários

O produto de convolução de duas funções integráveis é ele próprio integrável.
Cálculo do integrante do Gauss , . $\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ exp (-x ^ 2) ~ \ mathrm dx$

Contra-exemplos

Se $f$ não é integrável

Considerar

{\ displaystyle \ int _ {[0,1] ^ {2}} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2 }}} ~ \ mathrm {d} (x, y)}

Nós temos

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ left (\ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} y \ direita) \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {4}}}

. Detalhes de cálculo

Integrando primeiro em relação a : $y$

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} y = \ left [{\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right] _ {y = 0} ^ {1} = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

então

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} x = \ left [\ arctan x \ right] _ {0} ^ {1} = {\ frac {\ pi} {4}}}

Ao trocar as funções de e , portanto, temos $x$ $y$

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ left [\ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} x \ direita] \ mathrm {d} y = - {\ frac {\ pi} {4}}}

que - uma vez que o teorema de Fubini não se aplica aqui - prova que

{\ displaystyle \ int _ {[0,1] ^ {2}} \ left | {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} \ right | ~ \ mathrm {d} (x, y) = + \ infty}

Caso de uma medida não sigma-finita

Considere o todo . Vamos equipá-lo, por um lado, com a tribo Boreliana e a medida Lebesgue e, por outro lado, com a tribo discreta e a medida de contagem . $I = [0,1]$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (I)}$ $\ lambda$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (I)}$ $m$

A diagonal é fechada , portanto ${\ displaystyle \ Delta = \ {(x, x) \ mid x \ in [0,1] \}}$ $I ^ 2$

\ Delta \ in \ mathcal B (I ^ 2) = \ mathcal B (I) \ vezes \ mathcal B (I) \ subconjunto \ mathcal B (I) \ vezes \ mathcal P (I).

A função do indicador 1 Δ é, portanto, mensurável no espaço considerado do produto.

Mas temos por um lado:

∫eu[∫eu1Δ(x,y) dm(y)] dλ(x)=∫eu[∫eu1{x}(y) dm(y)] dλ(x)=∫eum({x}) dλ(x)=λ(eu)=1{\ displaystyle \ int _ {I} \ left [\ int _ {I} {\ mathbf {1}} _ {\ Delta} (x, y) ~ \ mathrm {d} m (y) \ right] ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) = \ int _ {I} \ left [\ int _ {I} {\ mathbf {1}} _ {\ {x \}} (y) ~ \ mathrm {d} m (y) \ right] ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) = \ int _ {I} m (\ {x \}) ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) = \ lambda (I) = 1}

{\ displaystyle \ int _ {I} \ left [\ int _ {I} {\ mathbf {1}} _ {\ Delta} (x, y) ~ \ mathrm {d} m (y) \ right] ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) = \ int _ {I} \ left [\ int _ {I} {\ mathbf {1}} _ {\ {x \}} (y) ~ \ mathrm {d} m (y) \ right] ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) = \ int _ {I} m (\ {x \}) ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) = \ lambda (I) = 1}

E por outro lado: ∫eu[∫eu1Δ(x,y) dλ(x)] dm(y)=∫eu[∫eu1{y}(x) dλ(x)] dm(y)=∫euλ({y}) dm(y)=∫eu0 dm(y)=0{\ displaystyle \ int _ {I} \ left [\ int _ {I} {\ mathbf {1}} _ {\ Delta} (x, y) ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) \ right] ~ \ mathrm {d} m (y) = \ int _ {I} \ left [\ int _ {I} {\ mathbf {1}} _ {\ {y \}} (x) ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) \ right] ~ \ mathrm {d} m (y) = \ int _ {I} \ lambda (\ {y \}) ~ \ mathrm {d} m (y) = \ int _ {I} 0 ~ \ mathrm {d} m (y) = 0}

{\ displaystyle \ int _ {I} \ left [\ int _ {I} {\ mathbf {1}} _ {\ Delta} (x, y) ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) \ right] ~ \ mathrm {d} m (y) = \ int _ {I} \ left [\ int _ {I} {\ mathbf {1}} _ {\ {y \}} (x) ~ \ mathrm {d} \ lambda (x) \ right] ~ \ mathrm {d} m (y) = \ int _ {I} \ lambda (\ {y \}) ~ \ mathrm {d} m (y) = \ int _ {I} 0 ~ \ mathrm {d} m (y) = 0}

Essas duas integrais são distintas, portanto:

o teorema de Fubini-Tonelli não se aplica aqui. Isso é explicado porque a medida de contagem em não é σ-finita, porque qualquer união contável de conjuntos de medidas -finitas, ou seja, de conjuntos finitos, é no máximo contável e, portanto, diferente de . $m$ $I = [0,1]$ $m$ $[0,1]$
o teorema de Fubini-Lebesgue também não se aplica, o que prova que Δ é de medida infinita para qualquer medida produzida por . $\ lambda$ $m$

Notas e referências

Walter Rudin , Análise real e complexa [ detalhe das edições ].
(in) Emmanuele DiBenedetto, Real Analysis , Springer, 2002, p. 147 .

Veja também

Link externo

As medidas produzidas , capítulo VIII do curso de integração 2004-2005-2006 de Pierre Mazet na Universidade Pierre-et-Marie-Curie . Há uma prova de ambas as versões do teorema de Fubini.