Teorema de Gauss (eletromagnetismo)

No eletromagnetismo , o teorema de Gauss torna possível calcular o fluxo de um campo elétrico através de uma superfície fechada conhecendo as cargas elétricas que contém.

O fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada é igual à soma das cargas elétricas contidas no volume delimitado por essa superfície, dividido pela permissividade do vácuo . $S$ $V$

Teorema de Gauss aplicado ao campo elétrico

O teorema de Gauss é a forma integral da equação de Maxwell-Gauss . Usando o teorema da divergência , vem: ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varejpsilon _ {0}}}}$

{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {S} { \ overrightarrow {E}} \, {\ overrightarrow {\ mathrm {d} S}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {V} \ rho \, \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle \ Phi _ {E} = {\ frac {Q_ {int}} {\ varepsilon _ {0}}}}

${\ displaystyle \ textstyle \ Phi _ {E} = \ int \! \! \ int _ {S} {\ overrightarrow {E}} \, {\ overrightarrow {\ mathrm {d} S}}}$ é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada contendo um volume , $S$ $V$
$\ varejpsilon _ {0}$ é a permissividade do vácuo ,
$\ rho$ é a densidade de volume da carga no volume,
${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {d} S}}}$ é um elemento de superfície ,
${\ displaystyle \ mathrm {d} V}$ é um elemento de volume ,
$Q _ {{int}}$ é a cobrança total incluída no volume.

O teorema de Gauss é útil para calcular o campo elétrico em um determinado ponto, um cálculo que seria mais complexo se a lei de Coulomb fosse usada. É necessário, no entanto, que a distribuição das cargas apresente uma simetria e que a superfície de Gauss selecionada seja adequada. É uma propriedade geral da física proveniente do princípio de Curie : os efeitos têm, pelo menos, as mesmas simetrias que as causas.

Teorema de Gauss aplicado ao campo gravitacional

Também é possível definir um teorema gaussiano aplicado desta vez ao fluxo do campo gravitacional através de uma superfície fechada contendo um volume : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {g}}}$ $S$ $V$

{\ displaystyle \ Phi _ {g} = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {S} {\ overrightarrow {g}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {d} S}} = - 4 \ pi \, G \, \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {V} \ rho _ {m} \, \ mathrm {d} V = -4 \ pi \, G \, M_ {int}}

onde é a constante gravitacional universal , é a densidade de massa do meio e é a massa total incluída no volume. $G$ ${\ displaystyle \ rho _ {m}}$ $Hortelã}}$

Veja também