Na matemática , o teorema de Zermelo , também chamado de teorema da boa ordem , é um resultado da teoria dos conjuntos , demonstrada em 1904 por Ernst Zermelo , que afirma:
Teorema de Zermelo - Qualquer conjunto pode ser dotado de uma estrutura de boa ordem , ou seja, com uma ordem tal que qualquer parte não vazia admite um elemento menor .
O teorema de Zermelo, o axioma da escolha e o lema de Zorn são equivalentes:
Seja E um conjunto bem ordenado e P ( E ) o conjunto de suas partes . Em seguida, definimos uma função de escolha em P ( E ) \ {⌀} associando, a cada parte não vazia de E , seu menor elemento (a existência de tal função é uma das declarações possíveis do axioma de seleção).
De qualquer E um conjunto ou M toda a parte ordenada Relações de E . O próprio M pode ser dotado de uma ordem parcial: dizemos que uma boa ordem o 1 é menor ou igual a uma boa ordem o 2 se o 1 é um segmento inicial de o 2 . Em seguida, verificamos se M fornecido com essa relação é um conjunto indutivo. Qualquer cadeia de M admite um limite superior (que é mesmo um limite superior): a relação cujo gráfico é a união dos gráficos das ordens da cadeia. Verificamos se essa relação é de fato uma relação de boa ordem (exploramos o fato de que a cadeia é ordenada por segmento inicial). Portanto, M admite um elemento máximo. Esse elemento máximo é, então, uma boa ordem sobre todo E (de outra forma, poderíamos estendê-lo em uma boa ordem sucessora, o que contradiria a maximalidade).
O lema de Zorn, portanto, implica o axioma da escolha (uma prova direta, no mesmo princípio, é dada no artigo sobre o lema de Zorn ). Reciprocamente:
Após a publicação de Zermelo na Mathematische Annalen , Emile Borel , no volume seguinte da mesma revista, expressa sua discordância com o uso de Zermelo do axioma da escolha . Seguirá cinco cartas de debate entre Emile Borel , Jacques Hadamard , René Baire e Henri Lebesgue .