Na geometria euclidiana plana , mais precisamente na geometria do círculo , os teoremas do ângulo inscrito e do ângulo do centro estabelecem relações entre os ângulos inscritos e os ângulos do centro interceptando o mesmo arco .
Existem duas versões desses teoremas, uma sobre ângulos geométricos e outra sobre ângulos orientados .
Teorema - Seja M um ponto sobre um Γ círculo de centro O, A e B são dois pontos distintos de M. Se a AMB círculo ângulos AOB interceptar o mesmo arco AB em seguida: .
Existem, portanto, duas situações, uma onde o ângulo inscrito do vértice M é agudo , portanto o ângulo no centro do vértice saliente O (figura 1), a outra onde o ângulo inscrito do vértice M é obtuso , portanto o ângulo no centro do vértice O reentrante (figura 2).
Caso particularO caso de um ângulo inscrito em um semicírculo é o caso particular em que o ângulo no centro é um ângulo plano e, portanto, o ângulo inscrito é um ângulo reto.
A declaração e a prova da propriedade são muito mais simples com ângulos orientados.
Teorema - Let A , B e M três pontos distintos, e Γ um círculo de centro O através de um e B . O ponto M pertence a Γ se e somente se: .
Corolário - Dois ângulos inscritos em um círculo e interceptando o mesmo arco têm a mesma medida.
Esta propriedade é uma consequência imediata do teorema do ângulo central acima .
Complemento - Dois ângulos inscritos em um círculo interceptando arcos circulares complementares são adicionais .
Os ângulos inscritos interceptam dois arcos complementares se seus vértices estiverem em ambos os lados da corda associada aos dois arcos.
A propriedade declarada é novamente uma consequência direta do teorema do ângulo central. Quando os arcos são complementares, a soma dos ângulos no centro dá um ângulo completo. Como os ângulos inscritos são iguais à metade dos ângulos do centro, a soma dos ângulos inscritos dá um ângulo plano.
FormuláriosEste teorema é a base da noção de círculo de foco, ou círculo de Rowland, em espectrometria .
Ângulo do acorde e tangenteA propriedade dos ângulos inscritos é generalizada para os ângulos formados pela corda que subtende o arco com uma tangente:
O ângulo inscrito tem a mesma medida do ângulo formado pela corda, que une as extremidades do arco, com a parte da tangente ao círculo em uma das extremidades da corda, localizada no lado oposto ao ângulo em questão em relação a o acorde.
O ângulo inscrito tem a mesma medida de um dos dois ângulos formados pela tangente (TT ') ao círculo em A com a corda [AB]:
O ângulo inscrito é a mesma medida que o ângulo da corda [BA] com a tangente [AT).
é a posição limite do ângulo inscrito quando M "tende" para A.
DemonstraçãoSe H é o ponto médio de [AB], os ângulos e têm seus lados dois a dois perpendiculares, eles têm a mesma medida.
(OH) sendo a bissetriz do triângulo isósceles BOA, temos e é igual à metade da medida do ângulo no centro e, portanto, à medida do ângulo de acordo com o teorema do ângulo no centro.
Para ângulos orientados, a propriedade é uma caracterização do círculo que passa pelos pontos A , M e B .
Teorema - Se o círculo é circunscrito a um triângulo não plano AMB, então, para qualquer ponto N distinto de A e B , temos
.Observe que a igualdade só é verdadeira com π próximo, o que explica que os ângulos geométricos podem ser adicionais.