Teoria quântica dos campos axiomáticos
Introdução
Na década de 1950 , com o sucesso da renormalização perturbativa na eletrodinâmica quântica , surgiu a necessidade de uma formulação matematicamente rigorosa da teoria quântica de campos com base em alguns princípios gerais, incluindo:
- conceitos de mecânica quântica ,
- a invariância sob o grupo Poincaré ,
- a localidade dos campos.
O objetivo foi esclarecer o estado das equações na teoria quântica de campos e tentar mostrar que existem soluções para essas equações. Duas formulações surgiram:
- Formulação clássica : seguindo o caminho original definido nos Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica de John von Neumann (1932) e continuado por Wightman e Streater, é baseado em um espaço de Hilbert . Um observável é então representado por um operador auto-adjunto atuando neste espaço de Hilbert. Esta abordagem faz uso extensivo da teoria das distribuições inventada por Laurent Schwartz em 1949, porque o status matemático de um campo quântico é o de uma distribuição com valor de operador : se designa um ponto no espaço-tempo quadridimensional, um campo quântico local , e uma função suave com suporte compacto, então:
é um operador.
- Formulação algébrica : introduzida por Segal (1947) e desenvolvida por Haag, Ruelle e Kastler, esta abordagem é baseada em uma C * -álgebra , um ser observável aqui representado por um elemento desta C * -álgebra.
Essas duas formulações são inteiramente equivalentes na mecânica quântica, onde há apenas um número finito de graus de liberdade, em virtude de um teorema de Von Neumann que garante a unicidade das representações irredutíveis das relações de comutação canônicas. Por outro lado, na teoria quântica de campos, onde há um número infinito de graus de liberdade, há uma infinidade incontável de representações irredutíveis que são desiguais, o que significa que a abordagem algébrica é a priori muito menos restritiva do que a formulação clássica.
Apêndices
Bibliografia
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