O teorema de incorporação de Mitchell , também conhecido como teorema Freyd-Mitchell , é uma afirmação importante sobre as categorias Abelianas ; afirma que essas categorias, embora definidas em abstrato, são, na verdade, categorias concretas de módulos . Isso torna possível procurar diagramas em tais categorias.
Precisamente, o teorema é enunciado da seguinte forma: para A uma pequena categoria abeliana, existe um anel R, unitário e não comutativo em geral, bem como um functor F: A → R-Mod, completo, fiel e exato, de a categoria A na categoria de módulos R à esquerda.
Este functor F estabelece uma equivalência entre A e uma subcategoria completa de R-Mod compatível com as noções de grãos e coquinhos e, portanto, compatível com a noção de seqüência exata. No entanto, este functor não mantém as propriedades de um objeto de A para ser projetivo ou injetivo (um módulo em um anel é sempre injetivo e projetivo na categoria constituída por ele mesmo e 0 e como apenas morfismos 0, e os múltiplos de identidade) .