Transformação complexa

A transformação complexa é um método matemático que permite derivar, integrar ou aplicar facilmente operações aritméticas (+, -, × e /) às grandezas funções senoidais do tempo, desde que lineares. Vantajosamente, substitui a representação de Fresnel em situações complicadas.

Princípio

Em uma quantidade $g ( t )$ , função sinusoidal da expressão tempo:

{\ displaystyle g (t) = {\ widehat {G}} \ cdot \ cos (\ omega t + \ varphi) \,}

encontramos um número complexo : de módulo $G$ e argumento $φ$ . Ao denotar $j$ a unidade imaginária, a notação exponencial é escrita ${\ displaystyle {\ underline {G}} \,}$

{\ displaystyle {\ underline {G}} = \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}

Nota : muitas vezes abreviamos a notação exponencial na forma:

{\ displaystyle {\ underline {G}} = \ G (t) \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ varphi} \,}

Com: ,

{\ displaystyle \ G (t) = \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ omega t} \,}

Neste caso, é necessário manter na memória a existência de

ω

para as derivações ou integrações.

Na eletricidade, para correntes e tensões, costuma-se usar um número complexo cujo módulo é igual ao valor efetivo da quantidade:

{\ displaystyle G = {\ frac {\ hat {G}} {\ sqrt {2}}} \,}

Operações básicas

Operações aritméticas : voltamos às operações sobre números complexos, então aplicamos a transformação inversa para obter a quantidade senoidal que corresponde ao resultado da operação.

Derivação

Derivamos a imagem do número complexo:

{\ displaystyle {\ underline {G}} = \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}

, nós obtemos :

{\ displaystyle \ omega \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ left (\ omega t + \ varphi + {\ frac {\ pi} {2}} \ right)} \,}

{\ displaystyle j \ omega \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}

Integração

Integramos a imagem do número complexo e obtemos:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega}} \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ left (\ omega t + \ varphi - {\ frac {\ pi} {2} } \ right)} \,}

, ou

{\ displaystyle {\ frac {1} {j \ omega}} \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}

Representação complexa de correntes e tensões (generalizável)

Em um circuito em estado estacionário senoidal composto de componentes lineares, uma corrente ou uma tensão é uma função $g ( t )$ do tipo:

{\ displaystyle g (t) = {\ widehat {G}} \ cdot \ cos (\ omega t + \ varphi) \,}

Denotamos um número complexo associado a $g$ $($ $t$ $)$ igual a: ${\ displaystyle {\ underline {g}}}$

${\ displaystyle {\ underline {g}} = \ G \ cdot e ^ {j \ varphi} \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ omega t}}$

${\ displaystyle | {\ underline {g}} |}$ é igual ao valor efetivo de $g$ ,
${\ displaystyle \ operatorname {arg} ({\ underline {g}})}$ é igual à fase total de $g$ (incluindo $ω t$ ).

O termo é denominado amplitude complexa de s porque caracteriza o sinal, enquanto o termo $e$ $j ω t$ é comum a todos os sinais do circuito. Nós percebemos isso . é, portanto, o elemento matemático que carrega as informações de fase e amplitude de . São, portanto, as amplitudes complexas que se busca descrever um circuito em regime senoidal. A notação em forma exponencial permite evitar o uso de fórmulas trigonométricas e deve ser colocada em conexão com a impedância complexa. ${\ displaystyle \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ varphi}}$ ${\ displaystyle g (t) = \ Re ({\ underline {g}})}$ ${\ displaystyle {\ underline {g}}}$ ${\ displaystyle g (t)}$

Notas e referências

http://www.brouchier.com/Amplitude_Complexe