Zero de uma função holomórfica

Na análise complexa , chamamos zero de uma função holomórfica de um número complexo tal que . f{\ displaystyle f} no{\ displaystyle a}f(no)=0{\ displaystyle f (a) = 0}

Ordem de multiplicidade de um zero isolado

Ao longo desta seção, denote um conjunto aberto de ℂ, uma função holomórfica e (elemento de ) um zero de . você{\ displaystyle U}f:você→VS{\ displaystyle \ scriptstyle f: U \ to \ mathbb {C}}no{\ displaystyle a}você{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}

Existe um disco aberto incluído em onde se desenvolve em série inteira (de raio de convergência pelo menos igual a ): D(no,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}você{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}r{\ displaystyle r}

∀z∈D(no,r),f(z)=∑k=1+∞αk(z-no)k{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {k} \, (za) ^ {k}}(o termo constante é e os outros coeficientes são ).α0=f(no)=0{\ displaystyle \ alpha _ {0} = f (a) = 0}αk=f(k)(no)/k!{\ displaystyle \ alpha _ {k} = f ^ {(k)} (a) / k!}

Definição  -  é um zero isolado de se é um ponto isolado do conjunto de zeros de , ou seja, se, em um disco de centro e raio suficientemente pequenos, é o único ponto em que desaparece. no{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}no{\ displaystyle a}no{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}

Dois casos (apenas) são possíveis:

• Se for qualquer inteiro , entãok>0{\ displaystyle k> 0}αk=0{\ displaystyle \ alpha _ {k} = 0}

∀z∈D(no,r),f(z)=0{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = 0} : é identicamente zero ligado  ; é, portanto, neste caso, um zero não isolado  ;f{\ displaystyle f}D(no,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}no{\ displaystyle a}

• Caso contrário, deixe o índice do primeiro coeficiente diferente de zero de toda a série ( e ): podemos escrevernão{\ displaystyle n}não≥1{\ displaystyle \ scriptstyle n \ geq 1}αnão≠0{\ displaystyle \ scriptstyle \ alpha _ {n} \ neq 0}

∀z∈D(no,r),f(z)=∑k=não+∞αk(z-no)k=(z-no)nãog(z),{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = \ sum _ {k = n} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {k} \, (za) ^ {k} = (za) ^ {n} \, g (z),} onde é definido por:g:D(no,r)→VS{\ displaystyle \ scriptstyle g \ ,: \, \ mathrm {D} (a, \, r) \, \ to \, \ mathbb {C}} ∀z∈D(no,r),g(z)=∑ℓ=0+∞αℓ+não(z-no)ℓ.{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, g (z) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {\ ell + n} \, (za) ^ {\ ell}.} Esta função é analítica e diferente de zero.g{\ displaystyle g}g(no)=αnão{\ displaystyle g (a) = \ alpha _ {n}} Por continuidade de dentro , existe um real estritamente positivo tal que não se anula .g{\ displaystyle g}no{\ displaystyle a}r1<r{\ displaystyle r_ {1} <r}g{\ displaystyle g}D(no,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})} Finalmente, para qualquer elemento de  :z{\ displaystyle z}D(no,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})} f(z)=(z-no)nãog(z)eg(z)≠0{\ displaystyle f (z) = (za) ^ {n} g (z) \ quad {\ text {e}} \ quad g (z) \ neq 0.} Deduzimos que é o único ponto em que é cancelado; é, portanto, neste caso, um zero isolado .no{\ displaystyle a}D(no,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})}f{\ displaystyle f}no{\ displaystyle a}

Podemos resumir isso pela seguinte definição e teorema.

Definição

A ordem de multiplicidade (ou multiplicidade ) de um zero isolado de é o inteiro único tal que: no{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}não>0{\ displaystyle n> 0}

• para tudo natural ,k<não{\ displaystyle k <n}f(k)(no)=0 {\ displaystyle f ^ {(k)} (a) = 0 ~}

e

• f(não)(no)≠0{\ displaystyle f ^ {(n)} (a) \ neq 0.}

Quando , dizemos que é um zero simples. não=1{\ displaystyle n = 1}no{\ displaystyle a}

Teorema

• no{\ displaystyle a}é uma ordem zero isolada para (e se) apenas se houver uma função holomórfica , definida em um disco aberto incluído , como: não{\ displaystyle n}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}D(no,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}você{\ displaystyle U}
  • ∀z∈D(no,r),f(z)=(z-no)nãog(z){\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = (za) ^ {n} \, g (z)} e
  • g(no)≠0{\ displaystyle g (a) \ neq 0.}
• Princípio dos zeros isolados  : se é um zero não isolado de , então existe um disco aberto incluído no qual é zero.no{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}D(no,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}você{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}

Observação

Definimos em álgebra a noção análoga de ordem de multiplicidade de uma raiz de um polinômio diferente de zero, do qual aquilo que acabou de ser definido constitui uma generalização.

Exemplo

Seja um número complexo e no{\ displaystyle a}

f:VS→VS, z↦exp⁡(z)-exp⁡(no)-(z-no) exp⁡(no).{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, ~ z \ mapsto \ exp (z) - \ exp (a) - (za) ~ \ exp (a).}

Esta função é integral (ou seja, holomórfica sobre ℂ) e é um zero isolado de ordem 2. no{\ displaystyle a}

Nós verificamos que

f(no)=f′(no)=0ef″(no)≠0{\ displaystyle f (a) = f '(a) = 0 \ quad {\ text {e}} \ quad f' '(a) \ neq 0.}

Aplicativo

Do princípio dos zeros isolados deduzimos o seguinte princípio, cuja prova é proposta no artigo Extensão analítica .

Princípio da extensão analítica

Seja um conjunto aberto conectado e duas funções definidas e holomórficas ativadas . você{\ displaystyle U}f1,f2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}você{\ displaystyle U}

Se o conjunto tiver pelo menos um ponto não isolado , então . {z∈você∣f1(z)=f2(z)}{\ displaystyle \ {z \ in U \ mid f_ {1} (z) = f_ {2} (z) \}}f1=f2{\ displaystyle f_ {1} = f_ {2}}

Ou :

se houver um elemento de e um conjunto de elementos distintos , convergentes , de modo que para qualquer número inteiro , então no{\ displaystyle a}você{\ displaystyle U}(znão){\ displaystyle (z_ {n})}você{\ displaystyle U}no{\ displaystyle a}no{\ displaystyle a}não{\ displaystyle n}f1(znão)=f2(znão){\ displaystyle f_ {1} (z_ {n}) = f_ {2} (z_ {n})}

∀z∈vocêf1(z)=f2(z){\ displaystyle \ forall z \ in U \ quad f_ {1} (z) = f_ {2} (z)}.

Exemplo

Seja um conjunto aberto conectado de ℂ contendo um intervalo de ℝ não reduzido a um ponto: os pontos de não são isolados. você{\ displaystyle U}eu{\ displaystyle I}eu{\ displaystyle I}

Se as funções forem holomórficas ativadas e coincidirem ativamente , então elas coincidirão . f1,f2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}você{\ displaystyle U}eu{\ displaystyle I}você{\ displaystyle U}

Isso significa que uma função de in ℂ admite no máximo uma continuação analítica para um conjunto aberto conectado de ℂ contendo . eu{\ displaystyle I}você{\ displaystyle U}eu{\ displaystyle I}

• Assim, a função exponencial complexa é a única extensão analítica em ℂ da função exponencial real.
• Assumimos que a identidade é conhecida por qualquer par de reais. Ele pode ser estendido por extensão analítica a qualquer par de números complexos. De fato : exp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y){\ displaystyle \ exp (x + y) = \ exp (x) \ exp (y)}
  • Deixe ser real. Definimos em ℂ (conectado aberto) duas funções holomórficas configurando e . Essas duas funções coincidem em ℝ, portanto (princípio da continuação analítica) em ℂ: para qualquer complexo , e isso tudo para o real  ;y{\ displaystyle y}f1,f2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}f1(z)=exp⁡(z+y){\ displaystyle f_ {1} (z) = \ exp (z + y)}f2(z)=exp⁡(z)exp⁡(y){\ displaystyle f_ {2} (z) = \ exp (z) \ exp (y)}z{\ displaystyle z}exp⁡(z+y)=exp⁡(z)exp⁡(y){\ displaystyle \ exp (z + y) = \ exp (z) \ exp (y)}y{\ displaystyle y}
  • Deixe ser qualquer complexo. Definimos em ℂ (conectado aberto) duas funções holomórficas configurando e . Essas duas funções coincidem em ℝ (de acordo com o ponto anterior), então (princípio de continuação analítica) em ℂ: para qualquer complexo , e para todo complexo z.z{\ displaystyle z}f3,f4{\ displaystyle f_ {3}, f_ {4}}f3(você)=exp⁡(z+você){\ displaystyle f_ {3} (u) = \ exp (z + u)}f4(você)=exp⁡(z)exp⁡(você){\ displaystyle f_ {4} (u) = \ exp (z) \ exp (u)}você{\ displaystyle u}exp⁡(z+você)=exp⁡(z)exp⁡(você){\ displaystyle \ exp (z + u) = \ exp (z) \ exp (u)}

Número de zeros

O princípio do argumento permite dar o número de zeros de uma função holomórfica, contada com multiplicidade, incluída em um disco.

Se F é holomórfico em uma vizinhança de um disco fechado D tal que F não desaparece na borda do disco, a seguinte fórmula dá o número de zeros de F , contados com multiplicidade, no disco D :

12euπ∮∂DF′(ξ)F(ξ) dξ.{\ displaystyle {\ frac {1} {2i \ pi}} \ anint _ {\ partial D} {\ frac {F '(\ xi)} {F (\ xi)}} ~ \ mathrm {d} \ xi .} <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">