Matriz Z

Em matemática , uma -matriz é uma matriz quadrada real cujos elementos extra diagonais são negativos. Essas matrizes trazem propriedades particulares aos problemas de complementaridade linear . Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

O oposto de uma matriz é uma matriz Metzler (e vice- versa). Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

Definições

Uma matriz quadrada real é uma -matriz se todos os seus elementos extra diagonais forem negativos: M∈Rnão×não{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

∀(eu,j)∈{1,...,não}2 com eu≠j temos Meuj⩽0{\ displaystyle \ forall \, (i, j) \ in \ {1, \ ldots, n \} ^ {2} ~ {\ mbox {with}} ~ i \ neq j ~ {\ mbox {on a}} ~ M_ {ij} \ leqslant 0.}

Os elementos da diagonal de podem ser de sinal arbitrário. M{\ displaystyle M}

Denotamos o conjunto de matrizes de qualquer ordem. Chamamos -matricidade a propriedade de uma matriz à qual pertencerZ{\ displaystyle \ mathbf {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}Z.{\ displaystyle \ mathbf {Z}.}

Propriedade

Complementaridade linear

As matrizes trazem propriedades particulares para os problemas de complementaridade linear . Vamos relembrar a definição desses problemas. Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

Para um vetor , a notação significa que todos os componentes do vetor são positivos. Dada uma matriz real quadrada e um vetor , um problema de complementaridade linear consiste em encontrar um vetor tal que , e , que é escrito de forma abreviada da seguinte forma: v∈Rnão{\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}v⩾0{\ displaystyle v \ geqslant 0}veu{\ displaystyle v_ {i}}M∈Rnão×não{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}q∈Rnão{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}x∈Rnão{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}x⩾0{\ displaystyle x \ geqslant 0}Mx+q⩾0{\ displaystyle Mx + q \ geqslant 0}x⊤(Mx+q)=0{\ displaystyle x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0}

CL(M,q):0⩽x⊥(Mx+q)⩾0{\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}

O conjunto admissível deste problema é anotado

Adm(M,q): ={x∈Rnão:x⩾0, Mx+q⩾0}.{\ displaystyle {\ mbox {Adm}} (M, q): = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.}

Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}} - problema de matriz e complementaridade linear -  Para uma matriz , as seguintes propriedades são equivalentes: M∈Rnão×não{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}

1. M∈Z{\ displaystyle M \ in \ mathbf {Z}},
2. para tudo que o torna viável, contém um mínimo (para a ordem de ) que é solução de .q{\ displaystyle q}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}Adm⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {Adm} ​​(M, q)}⩽{\ displaystyle \ leqslant}Rnão{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}

Deduzimos deste resultado que

Z⊂Q0.{\ displaystyle \ mathbf {Z} \ subset \ mathbf {Q} _ {0}.}

onde está o conjunto de matrizes tal que a tem solução para tudo tornando admissível o problema de complementaridade. Q0{\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {0}}M{\ displaystyle M}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}q∈Rnão{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

Formulários

Química

Em química , uma matriz Z é uma representação dos átomos em uma molécula (ou qualquer sistema de átomos). Em vez de representar as coordenadas cartesianas do átomo , a matriz Z está nas coordenadas internas , que especificam as posições dos átomos em termos de comprimentos de ligação , ângulos de ligação e ângulos diédricos . Por convenção, quando convertemos para coordenadas cartesianas, o primeiro átomo está na origem e o segundo está no eixo z (daí o nome “matriz Z”). O uso de matrizes Z são muito comuns em química computacional e modelagem molecular , pois uma representação em coordenadas internas reduz o tempo de computação.

Por exemplo, o metano , em coordenadas cartesianas e unidades ångströms , teria sido representado como:

C 0.000000 0.000000 0.000000 H 0.628736 0.628736 0.628736 H -0.628736 -0.628736 0.628736 H -0.628736 0.628736 -0.628736 H 0.628736 -0.628736 -0.628736

A matriz Z seria

C H 1 1.089000 H 1 1.089000 2 109.4710 H 1 1.089000 2 109.4710 3 120.0000 H 1 1.089000 2 109.4710 3 -120.0000

Muito menos valores devem ser usados; na verdade, apenas o comprimento da ligação entre o carbono e os hidrogênios não é especificado pela simetria da molécula.

Apêndices

Artigos relacionados

• Complementaridade linear
• Matriz Metzler  (em)
• Matriz Z (química)

Bibliografia

• (en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). O problema da complementaridade linear . Clássicos em Matemática Aplicada 60. SIAM, Filadélfia, PA, EUA.

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