Teorema de Borel-Lebesgue

Na topologia de ℝ n , o teorema de Borel - Lebesgue ou Heine -Borel estabelece a equivalência entre as duas seguintes propriedades de um conjunto A de vetores  :

• A é fechado e limitado ( A é limitado se existir um número real positivo aumentando a norma de todos os elementos de A );
• A é compacto , isto é, verifica a propriedade Borel-Lebesgue: de qualquer sobreposição de A por aberturas de ℝ n podemos extrair uma cobertura subterrânea finita .

A essência do teorema é:

qualquer limite fechado de ℝ n é compacto

porque o inverso é imediato.

Este teorema generaliza para qualquer espaço vetorial normando de dimensão finita, mas não é válido em dimensão infinita.

Demonstração

• O segmento [ a , b ] é compacto
  Seja ( U i ) uma tampa aberta do segmento [ a , b ]. Consideramos o conjunto F dos pontos x de [ a , b ] tal que [ a , x ] é coberto por um número finito de aberturas U i . Como F não é vazio (contém a ) e está incluído em [ a , b ], tem um limite superior m ∈ [ a , b ]. Este limite m pertence a um U i . Então existe ε> 0 tal que o segmento V = [ m - ε, m + ε] ∩ [ a , b ] = [ c , d ] está incluído em U i . Como m é aderente a F , V encontra F , em um ponto x . Adicionando U i à cobertura finita de [ a , x ], obtemos uma cobertura finita de [ a , d ], portanto d ∈ F , portanto m ≥ d = min ( m + ε, b ), portanto b = d ∈ F .
• Um produto acabado de segmentos é compacto.
  Esse resultado é deduzido do lema do tubo , segundo o qual todo produto acabado de compactos é compacto.
• Qualquer fechamento limitado de ℝ n é compacto .
  Com efeito, é um produto de segmentos fechado, portanto, de um compacto, ou bastante fechado de um compacto, é compacto .

Contra-exemplo em dimensão infinita

Considere o espaço vetorial ℝ [ X ] de polinômios com coeficientes reais. Tomamos como norma de um polinômio o máximo dos respectivos valores absolutos de seus coeficientes. Seja B a bola unitária fechada. É claramente fechado e limitado. No entanto, os elementos X n de B estão a uma distância 1 um do outro, portanto, formam uma sequência sem subsequência convergente, portanto, aqui sem um valor de adesão , o que impede que B seja compacto .

Bibliografia

• (en) NR Andre, SM Engdahl, AE Parker, "  Uma Análise das Primeiras Provas do Teorema de Heine-Borel  " , em www.maa.org ,agosto de 2013(acessado em 9 de julho de 2021 )

Notas

1. Seguindo este teorema, muitos autores preferem definir os compactos de ℝ n como conjuntos fechados e limitados de vetores. Nesse caso, o teorema lê: um subconjunto de ℝ n é compacto se e somente se possui a propriedade Borel-Lebesgue. Outra abordagem é definir os compactos, em ℝ n , como as partes compactas sequencialmente  : o fato de essas partes serem exatamente as limitadas fechadas é elementar.
2. Mais precisamente: Diz-se que A é quase-compacto se satisfaz a propriedade Borel-Lebesgue, e compacto se, além disso , está separado , mas em ℝ n que está separado, essas duas noções são equivalentes.
3. Em um espaço separado , tudo compacto é fechado e em um espaço métrico , também é limitado porque é pré - compactado .
4. Uma prova dessa propriedade e de suas consequências para a topologia de ℝ n em S. Lang , Real Analysis , Paris, InterÉditions , 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 ) , p.  33 .
5. O teorema de Tychonov , muito mais difícil, mostra que qualquer produto compacto é compacto.

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