Em matemática , mais precisamente em geometria , uma curva plana é dita unicursal , ou racional se admite uma parametrização como suas coordenadas e são ambas frações racionais do parâmetro.
Uma linha é unicursal, pois admite uma representação paramétrica da forma
onde estão as coordenadas de um ponto na linha e um vetor de direção da linha.
Um círculo é unicursal. No caso do círculo de centro origem do sistema de coordenadas e do raio 1, temos a seguinte representação paramétrica:
Na realidade, a imagem de esta função não é o círculo completo desde faltando o ponto de contato . Mas admitimos que este ponto é a imagem pela representação paramétrica. Este é um exemplo de compactificaç~ao Alexándrov de .
As cônicas não degeneradas também são unicursais; aqui está, por exemplo, a parametrização racional de uma hipérbole equilateral :
Teorema - Uma curva cúbica é unicursal se e somente se admitir um ponto duplo, ou seja, se e somente se for nodal ou cúspide .
Em particular, uma curva elíptica não é unicursal.
Exemplos Cúbicas nodaisO fólio de Descartes tem por representação paramétrica
O ponto duplo é a origem do sistema de coordenadas, obtido para e para .
Geralmente, os estrofóides são unicursais.
Cúbicas cúspidesA cissoide de Diocles admite para representação paramétrica
É ainda melhor do que racional, uma vez que e são até polinômios de
Um exemplo de quártico unicursal é a lemniscata de Bernoulli, cuja equação paramétrica é
Pela eliminação de entre e , qualquer curva unicursal é algébrica .
Uma curva algébrica não é necessariamente unicursal. É se e somente se seu gênero for 0.
ExemploPodemos mostrar que a curva afim plana da equação é do gênero 0. Portanto, é unicursal e admite uma parametrização racional, por exemplo:
com .
Contra-exemplosCônicas : Uma cônica degenerada não é unicursal, por exemplo, a “curva” da equação não tem uma representação paramétrica racional (uma função que assume apenas os valores 1 e –1 não pode ser racional). No entanto, esta cônica degenerada é formada por dois componentes, as duas retas de equação e que são unicursais.
Cubics : Cubics sem um ponto duplo não são unicursais. Na verdade, sua espécie é igual a 1. Por outro lado, uma cúbica com um ponto duplo é do tipo 0.
Se (por exemplo, se é um número inteiro), as coordenadas e são eles próprios racional. Podemos, portanto, usar a representação paramétrica de uma curva unicursal para obter pontos com coordenadas racionais desta.
Exemplo : A busca por pontos com coordenadas racionais no círculo unitário ( veja acima ) está ligada à dos números pitagóricos : com , temos
onde reconhecemos o trigêmeo .
Clark usou as representações paramétricas racionais do círculo e do fólio para criar nomogramas de multiplicação (dobrando o lado do círculo com um fólio listado à direita triplicando o lado).