Nomograma

Um nomograma é uma ferramenta de cálculo gráfico composta de curvas graduadas entre as quais uma régua é colocada. O resultado da operação pode ser lido na interseção da régua e uma das curvas mostradas em vermelho nos exemplos abaixo. O termo foi criado por Maurice Ocagne que foi o principal promotor desta tecnologia no início do XX ° século. A arte de criar nomogramas é a nomografia.

Exemplo

A parábola oposta tem dupla dimensão, o que significa que consideramos separadas as duas metades desta, graduadas respectivamente em azul e ciano . O eixo da parábola, em vermelho, também é graduado, mas as graduações não vão mais para 10 como nos dois ramos laterais, mas para 100.

Para fazer o produto de 6 por 8, basta traçar uma linha entre a graduação 6 do ramo azul e a graduação 8 do ramo ciano. Do lado oposto a linha está em marrom, e vemos que ela cruza o eixo vermelho na graduação 48, o que confirma que : esta parábola é uma máquina de multiplicação. Promovido como tal por Clark, parece inspirado na pesquisa de parábolas na tabuada de August Ferdinand Möbius em 1841 . $6 \ vezes 8 = 48$

Este nomograma pode ser manipulado online no site do IREM da Universidade da Reunião .

Nota Histórica

Vários autores recentes atribuem esse método de cálculo a Yuri Matiyasevich , que é cronologicamente impossível (Matiyasevich publicou a receita do nomograma em 1971). É bem possível que na época ele tenha ignorado as obras de Clark, dada sua falta de fama.

Multiplicação

A utilização de duas curvas para os dois operandos e uma terceira para o resultado pode ser generalizada para todas as operações de duas variáveis do tipo . Para isso, basta graduar as duas curvas azul e ciano de acordo com e respectivamente. Isso permite, entre outras coisas, calcular a potência elétrica em uma resistência , a energia dada pela massa pela relação de Einstein E = mc 2 , lei de Snell , etc. $z = x ^ {\ alpha} y ^ {\ beta}$ $x ^ \ alpha$ $y ^ {\ beta}$ $P = RI ^ {2}$

Também é perfeitamente possível realizar divisões com o nomograma acima, trocando os papéis dos pontos de intersecção.

Os exemplos abaixo, portanto, mostram multiplicações.

Outros exemplos

Nomograma com linhas paralelas

O primeiro nomograma publicado por Maurice d'Ocagne é formado por linhas paralelas.

O princípio de uso é simples: marca-se nas linhas extremas os dois fatores a serem multiplicados (respectivamente graduações em azul e ciano ) e desenha-se entre os dois, uma linha retilínea.

As graduações utilizam uma escala logarítmica e o princípio do nomograma baseia-se na conservação do meio por projeção .

Este nomograma pode ser manipulado online no site do IREM em Reunião .

Um nomograma deste tipo permite calcular, a partir da temperatura de cor de duas fontes, em Kelvin , a sua diferença em mireds $1 / K 1 -1 / K 2$ .

Nomogramas de Clark

Em 1907 e 1908, J. Clark, da Politécnica do Cairo, publicou uma série de artigos nos quais discutia o uso de novos nomogramas por seus colegas. Ele descreve uma teoria unificadora desses nomogramas, que usam cúbicos. Em particular, como a parábola unida ao seu eixo é uma curva cúbica , a teoria de Clark explica como funciona o nomograma parabólico. Ele se estende ao uso de outras cônicas .

Nomograma circular

O círculo é uma cônica, o que dá origem a este nomograma de multiplicação. Como antes, os fatores são lidos nas graduações azul e ciano, entre as quais traçamos (virtualmente) uma linha, e lemos o produto na graduação vermelha que está alinhada com essas duas graduações.

Este nomograma pode ser manipulado online no site do IREM em Reunião.

Folium

O fólio também é uma curva cúbica, o que permitiu a Clark construir uma única curva de multiplicação, onde a mesma curva contém as graduações dos fatores e do produto. Este nomograma foi apresentado ao Congresso de Cherbourg em 1905 , onde teve grande sucesso.

Este nomograma pode ser manipulado online no site do IREM em Reunião.

Ábacos

Consiste em uma rede de curvas, cada uma correspondendo a um parâmetro e possibilitando encontrar um valor numérico sem cálculo explícito, mas de forma gráfica. Por exemplo :

a régua de cálculo
gráficos profissionais: são gráficos de leitura direta que facilitam os cálculos numéricos. Gráficos usados para determinar espontaneamente os resultados obtidos por cálculos em um sistema de linhas predefinidas preparadas com antecedência. O nome atual seria nomograma no sentido etimológico da palavra (de nomos : lei, divisão). Composto com base em gráficos em várias escalas estabelecidas traçando uma série de linhas, muitas vezes paralelas, raramente simultâneas. Os gráficos são explorados por uma leitura direta, sem ter que realizar plotagens complementares ou por leitura direta dos dados localizados na intersecção das retas correspondentes pela leitura do ponto concorrente em relação às necessidades do falante.
- Ábaco de Smith para cálculos de cabos elétricos
- Ábaco das pretas no avião de Nichols em automático
- gráfico de marés em SHOM
- gráfico de contagem, de Hull e Davay em cristalografia
- a rede Wulff permite trabalhar várias questões de geometria de direções em três dimensões. Por exemplo, é possível determinar se uma família de planos compartilha uma direção comum, se uma família de linhas define um único plano, se uma linha medida ou dada está localizada em um plano particular; este nomograma torna possível determinar a direção de um plano (de sua normal de fato) a partir de uma série de medidas das direções das linhas tomadas neste plano; permite calcular o ângulo entre dois planos, ou determinar a posição de um plano ou de uma reta após a rotação do sistema que transporta este plano ou esta reta, por um determinado ângulo em torno de uma dada direção. É em particular uma ferramenta essencial para o geólogo no campo que estuda a deformação de uma cobertura sedimentar (geologia estrutural), ou para o tectonista encontrar dados de orientação de falhas e estrias nos planos de deslizamento dessas falhas., A fim de especificar ou determinar o tensor das tensões litosféricas responsáveis por essas falhas e estrias.
- ábaco de magnitude em sismologia
- leitura de gráfico em microbiologia para constituição de antibiogramas
- Ábacos de A. Lafay para a resolução de triângulos
- gráfico de conversão franco / euro, Celsius / Fahrenheit
- ábaco de Heldio Lenz César na cartografia para lidar com o problema da variação da superfície de uma figura pontual ou de uma forma geométrica
- Nomograma de Henssge em medicina legal para namorar cadáveres

Notas e referências

August Ferdinand Möbius , Geometrische EigenSchaften einer FactorenTafel , J. queen angew. Matemática. , 1841
" Möbius multiplier - Reunion IREM " , em univ-reunion.fr (acessado em 30 de abril de 2021 ) .
Terracher, especialidade Maths Terminale S, 2000
2ª Matemática, coleção , 2010, página 103 $\ pi xel$
Veja o diário de Yuri Matiyasevich: [1]
M. d'Ocagne, Nomografia. Os cálculos usuais realizados por meio de ábacos , 1891.
" Nomogramme à droit parallèles - IREM de la Réunion " , em univ-reunion.fr (acesso em 30 de abril de 2021 ) .
Publicado no catálogo de filtros ópticos Wratten ( Kodak-Pathé , filtros Kodak: para usos científicos e técnicos ,Mil novecentos e oitenta e um, p. 21
Teoria geral de gráficos de alinhamento de todos os tipos , Journal of Mechanics 21 e 22
" Nomograma circular de Clark - IREM de la Réunion " , em univ-reunion.fr (acesso em 30 de abril de 2021 ) .
" Nomograma de Clark baseado em fólio - Reunion IREM " , em univ-reunion.fr (acessado em 30 de abril de 2021 ) .

Apêndices

links externos

Uso educacional da parábola de Möbius na aula 3 e
Tema do IREM da Reunião sobre nomogramas, com os nomogramas online: Alain Busser e Dominique Tournès, " Abaques e nomogramas " ; também existem outros nomogramas, especialmente para resolver equações quadráticas .
Um estudo de caso , onde calculamos graficamente um índice de massa corporal ; metade das ferramentas são nomogramas.