Coordenadas cartesianas
Um sistema de coordenadas cartesianas permite determinar a posição de um ponto em um espaço afim ( linha , plano , espaço de dimensão 3 , etc.) dotado de um sistema de coordenadas cartesiano . A palavra cartesiana vem do matemático e filósofo francês René Descartes .
Existem outros sistemas de coordenadas para localizar um ponto no plano ou no espaço.
Abscissa em uma linha afim
Em uma linha afim , um sistema de coordenadas são os dados de:
D{\ displaystyle D}
- uma origem , isto é, um ponto distinto de ;O{\ displaystyle O}D{\ displaystyle D}
- um vetor da linha de vetor de direção . Este vetor carrega duas informações:
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}D→{\ displaystyle {\ vec {D}}}
- uma orientação: um ponto está à direita de quando o vetor é positivamente colinear com ;NO{\ displaystyle A}O{\ displaystyle O}ONO→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
- uma unidade: um ponto é a distância de quando .NO{\ displaystyle A}r{\ displaystyle r}O{\ displaystyle O}ONO→=±r⋅v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = \ pm r \ cdot {\ vec {v}}}
Neste caso, o eixo-x do ponto é a única verdadeira , tais como: .
M{\ displaystyle M} r{\ displaystyle r}OM→=r⋅v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = r \ cdot {\ vec {v}}}
Portanto, há uma correspondência entre os pontos de uma linha afim e o conjunto de números reais.
Nota: Existem sistemas de graduação não regulares, mas o sistema de coordenadas não é mais chamado de Cartesiano (ver escala logarítmica ).
Coordenadas cartesianas no plano
Em um plano afim , as coordenadas cartesianas são indiscutivelmente a maneira mais natural de definir um sistema de coordenadas . Um sistema de coordenadas (cartesiano) do plano afim são os dados conjuntos de:
P{\ displaystyle P}
- um ponto de origem .O{\ displaystyle O}
- dois vetores e não colineares do plano vetorial mestre .eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}
Os eixos coordenados são as linhas afins e . Estas linhas admitem as respectivas graduações fornecidas pelos vetores e e .
(Ox)=(O,eu→){\ displaystyle (Ox) = (O, {\ vec {i}})}(Oy)=(O,j→){\ displaystyle (Oy) = (O, {\ vec {j}})}O{\ displaystyle O}eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}
Em certo ponto , temos o direito de desenhar:
M{\ displaystyle M}
- uma linha paralela à qual corta na abscissa , na referência(Oy){\ displaystyle (Oy)}(Ox){\ displaystyle (Ox)}mx{\ displaystyle m_ {x}}x{\ displaystyle x}(O,eu→){\ displaystyle (O, {\ vec {i}})}
- uma linha paralela à qual corta na abcissa da referência .(Ox){\ displaystyle (Ox)}(Oy){\ displaystyle (Oy)}my{\ displaystyle m_ {y}}y{\ displaystyle y}(O,j→){\ displaystyle (O, {\ vec {j}})}
O par de números reais é determinado apenas pelo ponto , é chamado de coordenadas de no referencial :
(x,y){\ displaystyle (x, y)}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}(O;eu→,j→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}
- O real é chamado de abscissa de ;x{\ displaystyle x}M{\ displaystyle M}
- O real é chamado de ordenada de .y{\ displaystyle y}M{\ displaystyle M}
Reciprocamente, a qualquer par , corresponde um único ponto com coordenadas de abscissa e ordenada . É o ponto de intersecção das duas seguintes linhas:
(x,y){\ displaystyle (x, y)}M{\ displaystyle M}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}
- A linha paralela à passagem pelo ponto de abscissa ;(Ox){\ displaystyle (Ox)}(Oy){\ displaystyle (Oy)}y{\ displaystyle y}
- A linha paralela à passagem pelo ponto de abscissa .(Oy){\ displaystyle (Oy)}(Ox){\ displaystyle (Ox)}x{\ displaystyle x}
Esta construção pode ser interpretada como o estabelecimento de um paralelogramo de vértices e .
O{\ displaystyle O}M{\ displaystyle M}
Em termos de vetor, obtemos a seguinte identidade:
OM→=xeu→+yj→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}O que torna possível fazer uma correspondência entre o cálculo em coordenadas e o cálculo vetorial.
Caso da base ortonormal
As bases ortonormais só têm significado em planos afins euclidianos . Em um plano euclidiano afim, uma base é considerada ortonormal quando os vetores e são, por um lado, de comprimento 1 (da norma 1) e, por outro lado, ortogonais, isto é, o produto escalar dos dois vetores é no.
(O;eu→,j→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}
Em outras palavras, os eixos de coordenadas são duas linhas afins ortogonais com o mesmo sistema de graduação.
Nesse caso, podemos calcular distâncias e ortogonalidades usando o teorema de Pitágoras . Aqui está um formulário:
- Para um ponto de coordenada , a distância é escrita:M{\ displaystyle M}(x,y){\ displaystyle (x, y)}OM{\ displaystyle OM}
OM=x2+y2{\ displaystyle OM = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}
Na tabela a imagem à direita foi colocada em uma orthonormal coordenar pontos coordenadas e coordenadas . O cálculo da distância é então:
NO{\ displaystyle A}(1,1){\ displaystyle (1,1)}B{\ displaystyle B}(4,5){\ displaystyle (4,5)}NOB{\ displaystyle AB}NOB=(4-1)2+(5-1)2=5{\ displaystyle AB = {\ sqrt {(4-1) ^ {2} + (5-1) ^ {2}}} = 5}
- Os vetores e são ortogonais se e somente se .você→(x,y){\ displaystyle {\ vec {u}} (x, y)}v→(X,Y){\ displaystyle {\ vec {vb}} (X, Y)}xX+yY=0{\ displaystyle xX + yY = 0}
Visto que o cálculo de distâncias e ângulos é frequentemente um objetivo da geometria plana euclidiana, as marcas de referência ortonormais são particularmente preferidas. Tanto que alguns trabalhos reservam o termo coordenadas cartesianas para esse tipo de sistema de coordenadas, sendo as demais coordenadas chamadas de coordenadas oblíquas .
Coordenadas cartesianas no espaço
O princípio da construção será o mesmo. Em um espaço afim de dimensão 3, um sistema de coordenadas (cartesiano) são os dados conjuntos de:
E{\ displaystyle E}
- um ponto de origem ,O{\ displaystyle O}
- e três vetores não são coplanares , e .eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
Os eixos de coordenadas são as linhas afins simultâneas , e .
(Ox)=(O;eu→){\ displaystyle (Ox) = (O; {\ vec {i}})}(Oy)=(O;j→){\ displaystyle (Oy) = (O; {\ vec {j}})}(Oz)=(O;k→){\ displaystyle (Oz) = (O; {\ vec {k}})}
Por um ponto , temos o direito de desenhar:
M{\ displaystyle M}
- um plano paralelo ao plano que corta na abcissa ,Oyz{\ displaystyle Oyz}Ox{\ displaystyle Ox}mx{\ displaystyle m_ {x}}x{\ displaystyle x}
- um plano paralelo ao plano que corta na abcissa ,Oxz{\ displaystyle Oxz}Oy{\ displaystyle Oy}my{\ displaystyle m_ {y}}y{\ displaystyle y}
- um plano paralelo ao plano que corta na abcissa .Oxy{\ displaystyle Oxy}Oz{\ displaystyle Oz}mz{\ displaystyle m_ {z}}z{\ displaystyle z}
O trio de números reais é determinado apenas pela posição do ponto . É chamado de coordenadas (cartesianas) de no quadro :
(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}(O;eu→,j→,k→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}
- o real é chamado de abscissa .x{\ displaystyle x}
- o real é chamado de ordenada ou profundidade .y{\ displaystyle y}
- o real é chamado de dimensão ou altura .z{\ displaystyle z}
Inversamente, a qualquer trinca de reais corresponde um único ponto de abscissa , ordenada e dimensão . Este ponto é obtido como a interseção:
(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}M{\ displaystyle M}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}
- do plano paralelo ao plano que passa pelo ponto de abscissa ,Oyz{\ displaystyle Oyz}Ox{\ displaystyle Ox}x{\ displaystyle x}
- do plano paralelo ao plano que passa pelo ponto de abscissa eOxz{\ displaystyle Oxz}Oy{\ displaystyle Oy}y{\ displaystyle y}
- do plano paralelo ao plano que passa pelo ponto de abscissa .Oxy{\ displaystyle Oxy}Oz{\ displaystyle Oz}z{\ displaystyle z}
Estes três planos, bem como os três planos de base , e desenhar um paralelepípedo.
Oxy{\ displaystyle Oxy}Oxz{\ displaystyle Oxz}Oyz{\ displaystyle Oyz}
Há uma correspondência um a um entre qualquer ponto e qualquer trinca de números reais então chamado de sistema de coordenadas de .
M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}
Como no avião, essas coordenadas são reinterpretadas por meio da escrita vetorial:
OM→=xeu→+yj→+zk→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}} + z {\ vec {k}}}
Marcos ortonormais
Numa euclidiana afim espaço de dimensão 3, um marcador é dito ortonormal quando os vectores , e são unitários e par a par ortogonal. Esta segunda condição está escrita:
(O;eu→,j→,k→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
⟨eu∣j⟩=0{\ displaystyle \ langle \ mathbf {i} \ mid \ mathbf {j} \ rangle = 0} ; ;
⟨j∣k⟩=0{\ displaystyle \ langle \ mathbf {j} \ mid \ mathbf {k} \ rangle = 0}⟨k∣eu⟩=0{\ displaystyle \ langle \ mathbf {k} \ mid \ mathbf {i} \ rangle = 0}
Como no avião, será necessário adotar um sistema de coordenadas ortonormal se quisermos trabalhar em distâncias e ângulos. A distância será então escrita:
OM=x2+y2+z2{\ displaystyle OM = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}
Coordenadas cartesianas na dimensão n
As observações anteriores permitem perceber uma ligação entre pares ou tripletos de números reais e vetores do plano ou do espaço. Este link pode ser generalizada para qualquer espaço vetorial ou dimensão afim sobre um corpo K .
Se for uma base de um espaço vetorial em um campo K , então, para qualquer vetor , existe um único elemento n- quíntuplo de K n tal que:
(e1→,e2→,...,enão→){\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, \ dots, {\ vec {e_ {n}}})}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}(x1,x2,...,xnão){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \,}
v→=x1e1→+x2e2→+⋯+xnãoenão→{\ displaystyle {\ vec {v}} = x_ {1} {\ vec {e_ {1}}} + x_ {2} {\ vec {e_ {2}}} + \ dots + x_ {n} {\ vec {e_ {n}}} \,} .
Esta n- dupla é chamada de sistema de coordenadas cartesianas do vetor no banco de dados ). A correspondência entre cada vetor e cada n -uplet permite construir um isomorfismo de espaços vetoriais entre V e K n .
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}(e1→,e2→,...,enão→{\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, \ dots, {\ vec {e_ {n}}}}
Para trabalhar em sistemas de coordenadas de pontos, basta adicionar à base anterior um ponto O chamado origem. As coordenadas do ponto M são as do vetor .
OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}}}
Finalmente, para trabalhar distâncias, será necessário construir uma base ortonormal (em que todos os vetores são da norma 1 e cada vetor é ortogonal a todos os outros). A distância OM será então expressa da seguinte forma:
OM=x12+x22+⋯+xnão2{\ displaystyle OM = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2}}} \,}
Cinemática no espaço
As quantidades cinemáticas, posição, velocidade e aceleração são dadas por:
OM→=xvocêx→+yvocêy→+zvocêz→OM→˙=x˙vocêx→+y˙vocêy→+z˙vocêz→OM→¨=x¨vocêx→+y¨vocêy→+z¨vocêz→{\ displaystyle {\ begin {align} {\ overrightarrow {OM}} & = x {\ overrightarrow {u_ {x}}} + y {\ overrightarrow {u_ {y}}} + z {\ overrightarrow {u_ {z }}} \\ {\ dot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ dot {x}} {\ overrightarrow {u_ {x}}} + {\ dot {y}} {\ overrightarrow {u_ {y }}} + {\ dot {z}} {\ overrightarrow {u_ {z}}} \\ {\ ddot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ ddot {x}} {\ overrightarrow {u_ {x }}} + {\ ddot {y}} {\ overrightarrow {u_ {y}}} + {\ ddot {z}} {\ overrightarrow {u_ {z}}} \\\ end {alinhado}}}
Coordenadas cartesianas no espaço-tempo
As coordenadas cartesianas foram imaginados por Descartes no décimo sétimo th século e têm sido amplamente utilizados mais tarde na mecânica de Newton para descrever o espaço físico em três dimensões (muitas vezes simbolizados pelas letras x , y , z ). A relatividade especial foi uma verdadeira revolução científica , e nos anos 1900 levou cientistas como Henri Poincaré e Hermann Minkowski a conceber o espaço e o tempo como inextricavelmente ligados, no que é chamado de espaço-tempo , teorizado pela noção de espaço de Minkowski . Às três dimensões do espaço é então adicionada a quarta dimensão do tempo .
Nessa teoria, Minkowski usa uma representação simplificada do espaço-tempo em coordenadas cartesianas, o diagrama de Minkowski , com uma dimensão do espaço e a dimensão do tempo (simbolizada por ct , onde c é a velocidade da luz e t tempo), para dar conta para fenômenos como a dilatação do tempo , a contração de comprimentos ou a noção de simultaneidade , sem usar uma equação matemática .
Introdução histórica de Descartes
A introdução das coordenadas cartesianas é feita no primeiro livro de geometria de René Descartes como ferramenta para resolver o problema de Pappus. Ele mostra de fato neste livro, como resolver um problema geométrico por um cálculo algébrico, participando do nascimento da geometria analítica .
“Seja o segmento da reta AB, que está entre os pontos A e B, denominado x; e que BC seja nomeado y; e que todas as outras linhas dadas sejam estendidas até que interceptem essas duas também estendidas, se necessário, e se elas não forem paralelas a elas; como você pode ver aqui, eles cruzam a linha AB nos pontos A, E, G e BC nos pontos R, S, T. (...) "
- René Descartes, Geometria, primeiro livro.
Notas e referências
-
Descartes 1637
-
Works of Descartes, ed. Primo, volume V, p. 331
-
Works of Descartes, ed. Primo, volume V, p. 332
Apêndices
Artigos relacionados
Bibliografia
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