Em matemática , uma reflexão ou simetria axial do plano euclidiano é uma simetria ortogonal em relação a uma linha (linha de vetor se for um plano de vetor euclidiano). Em seguida, constitui uma simetria axial ortogonal.
Mais geralmente, em qualquer espaço euclidiano, uma reflexão é uma simetria ortogonal em relação a um hiperplano , isto é, a um subespaço de codimensão 1. Na dimensão 3, é portanto uma simetria ortogonal a um plano. A origem do termo é bem compreendida em relação aos espelhos que refletem uma imagem. A imagem da figura e a figura inicial são isométricas.
Os reflexos, como todas as simetrias, são transformações involucionárias .
Uma reflexão é um antideslocamento (ou isometria negativa).
Em um plano vetorial euclidiano referido a uma base ortonormal,
As reflexões vetoriais de um espaço euclidiano podem ser expressas usando um vetor normal ao hiperplano de reflexão:
Estas são isometrias de vetor com determinante -1. Eles mantêm o produto escalar, mas transformam qualquer base ortonormal em uma base ortonormal de orientação oposta. Reconhece-se na expressão de reflexão a projecção ortogonal na linha gerada por k : ; reflexão é, portanto, também um endomorfismo auto-adicionado .
De acordo com o teorema de Cartan-Dieudonne , as reflexões geram o grupo ortogonal . Mais precisamente, na dimensão n , qualquer isometria vetorial é produzida por no máximo n reflexões.
Em bases ortonormais, as reflexões têm como matrizes representativas as matrizes de Householder que intervêm por exemplo no algoritmo de decomposição QR .