Na matemática , a álgebra de Banach é uma das estruturas fundamentais da análise funcional , em homenagem ao matemático polonês Stefan Banach (1892-1945).
Definição - Um Banach álgebra sobre o campo K = ℝ ou ℂ é um normalizado associativo K -álgebra de tal modo que o subjacente espaço normalizado vector é, adicionalmente, um espaço de Banach ( isto é completo para a norma).
Fazemos esta definição explícita: um Banach álgebra Uma sobre o campo K = ℝ ou ℂ é um espaço vectorial normalizada total sobre K (que denotam a norma) dotado com uma lei interna denotado por multiplicação, de tal modo que qualquer que seja x , y , z elementos de A e elemento de K :
Falamos de álgebra de Banach comutativa quando a lei do produto é comutativa .
Segundo os autores, a estrutura da álgebra requer ou não a presença de um elemento unitário (necessariamente único). Os termos álgebra unitária e álgebra não unitária tornam possível diferenciar entre estruturas. Em uma álgebra de Banach de unidade diferente de zero , o elemento de unidade pode sempre ser assumido como tendo a norma 1 , mesmo que isso signifique substituir a norma por uma certa norma equivalente .
Seja A uma álgebra de Banach unitária, com o elemento unitário e .
Como em qualquer anel (e uma álgebra associativa unitária o é em particular), os elementos invertíveis de A formam um grupo . Qualquer elemento e - u da bola aberta de centro ee raio 1 é parte dela, e seu inverso pode ser expresso como a soma das séries geométricas da razão u , absolutamente convergentes.
Segue-se que o grupo G dos elementos invertíveis de uma álgebra de Banach unitária é aberto .
O mapa de passagem reversa é um homeomorfismo de G a G , que fornece a G uma estrutura de grupo topológica . É até um mapa diferenciável (infinitamente, por indução), o diferencial no ponto x sendo dado por:
A suposição de integridade é essencial e esses resultados falham em álgebras normalizadas não completas. Por exemplo, considere a álgebra ℝ [ X ] de polinômios com coeficientes reais, dotados de qualquer norma álgebra. O grupo de invertíveis é ℝ * que está incluído no subespaço vetorial estrito ℝ de ℝ [ X ] e é, portanto, internamente vazio; portanto, não está aberto. Isso mostra em particular que ℝ [ X ] não pode ser dotado de uma estrutura de álgebra ℝ normalizada completa. Além disso, de acordo com o teorema de Baire , um espaço vetorial normatizado de dimensão contável nunca está completo: veja o § “Completude” do artigo sobre espaços vetoriais normados.
Os ideais máximos de uma álgebra de Banach unitária são fechados .
DemonstraçãoDeixe Um um unitária Banach álgebra, L o seu grupo de invertível e eu um ideal máxima de Uma . I está separado do G aberto . Sua aderência J é, portanto, também: J é um ideal rigorosa de A . Tal como tem também que incluídos em J e I máxima foi de i = j e que é fechada em um .
Uma álgebra de Banach unitária complexa (não comutativa a priori ) na qual qualquer elemento diferente de zero é invertível é isometricamente isomórfica ao campo dos números complexos ( teorema de Gelfand-Mazur ); em particular, os ideais máximos de álgebras de Banach de unidades complexas são hiperplanos fechados.
(pt) Alphons Willem Michiel Graven, Banach Modules over Banach Algebras , Meppel, Krips Repro,1974( leia online )
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