Dimensão de um espaço vetorial

Em álgebra linear , a dimensão de Hamel ou simplesmente dimensão é invariante associada com qualquer espaço vectorial E em um corpo K . A dimensão de E é o cardeal comum a todas as suas bases . Este número é denotado dim K ( E ) (leia “dimensão de E sobre K ”) ou dim ( E ) (se não houver confusão no campo K de escalares ). Se E admite uma parte geradora finito, em seguida, a sua dimensão é longo e ele é o número de vectores que constituem uma base E .

Essa definição se baseia, por um lado, na existência de bases, corolário do teorema da base incompleta , e, por outro lado, no teorema da dimensão para espaços vetoriais , que garante que duas bases de um mesmo espaço tenham o mesmo cardinal. Esta dimensão é às vezes nomeada em homenagem ao matemático alemão Georg Hamel . Até o isomorfismo , os espaços vetoriais K são classificados por suas dimensões. Uma terminologia é específica para pequenos espaços:

Espaço nulo : designa um espaço E de dimensão 0. Admite como elemento único seu vetor zero . A família vazia é uma família livre máxima ; é a única base de E ;
Vetor ou linha reta: designa um espaço vetorial E de dimensão 1. Qualquer vetor diferente de zero de E forma uma base de E ;
Vector plano ou plano: indica um espaço vector E da dimensão 2. Cada par ( u, v ) de vector de não- colinear com E forma uma base de E .

Exemplos

A dimensão de um espaço vetorial pode ser calculada escolhendo uma base canônica:

O campo K , visto como espaço vetorial K , é de dimensão 1. Para qualquer número natural n , o produto cartesiano K n é o espaço vetorial das n- duplas de escalares. É de dimensão n , sua base canônica compreende exatamente n vetores. Segue da definição que qualquer base de K n tem exatamente n vetores.
De forma mais geral, para qualquer conjunto A , denotamos por K ( A ) o conjunto de famílias (λ a ) a∈A de elementos de K indexados por A e com suporte finito. A adição e a multiplicação escalar são definidas em um, K ( A ) é um espaço vetorial K. A sua base canónica é a família ( e um ) a∈A onde e b = ( δ , b ) a∈A para b ∈ Uma . Segue-se que o tamanho de K ( A ) é a cardinalidade de Uma .
No espaço vetorial K [ X ] de polinômios com coeficientes em um campo K , os polinômios de grau menor ou igual an formam um subespaço vetorial com base canônica (1, X, ..., X n ), portanto, de dimensão n + 1 .
O espaço vetorial de matrizes com n linhas ep colunas, com coeficientes em K , tem como base canônica a família ( E i, j ) composta por matrizes com 1 na i- ésima linha ej- ésima coluna e zeros nas demais. É, portanto, de dimensão np .

A escolha do campo dos escalares é importante.

O campo de números complexos pode ser considerado tanto um espaço vetorial ℝ bidimensional quanto um espaço vetorial ℂ unidimensional.

Propriedades

Se F é um subespaço vetorial de E , então dim ( F ) ≤ dim ( E ).

Para demonstrar que dois espaços vector de dimensão finita são iguais, muitas vezes usamos o teorema seguinte: Se E é um espaço de dimensão finita vector e F um subespaço vector de E do mesmo tamanho, então E = F . Essa implicação se torna falsa em dimensão infinita.

Em um espaço de dimensão d (finito ou não), a cardinalidade de qualquer família livre é menor ou igual a d e a de qualquer família geradora é maior ou igual a d .

Um resultado importante na dimensão referente aos mapas lineares é o teorema da classificação .

Classificação

Dois espaços de vetor K são isomórficos (se e somente) se eles tiverem a mesma dimensão. Na verdade, qualquer mapeamento um-para-um entre suas bases pode ser estendido exclusivamente em um isomorfismo entre os dois espaços vetoriais.

Para qualquer conjunto A , existem espaços K -vetoriais de dimensão | A | : por exemplo o espaço K ( A ) ( cf. acima ).

Modificação de K

Seja L / K uma extensão de campo. Em seguida, L é um K espaço -vector, sendo a soma, no corpo da soma vectorial L , e a multiplicação escalar é restrita a K × G da multiplicação em L . A dimensão de L sobre K é chamada de grau de extensão e é denotada por [ L : K ].

Além disso, qualquer espaço vetorial L E também é um espaço vetorial K , por restrição da multiplicação. As dimensões são vinculadas pela fórmula:

{{\ rm {dim}}} _ {K} (E) = {{\ rm {dim}}} _ {K} (L) ~ {{\ rm {dim}}} _ {L} (E) .

Em particular, qualquer espaço vetorial complexo de dimensão n é um espaço vetorial real de dimensão 2 n .

Dimensão e cardinal

A dimensão do espaço vectorial K ( A ) é a cardinalidade de Uma . Esta afirmação segue a seguinte relao, que liga o cardinal dos corpo K escalares, a cardinalidade do espaço vectorial E , e o seu tamanho $de$ cerca de K .

Se $d$ for finito, então (em particular, | E | = 1 se d = 0, e | E | = | K | se K for infinito ed ≠ 0). ${\ displaystyle | E | = | K | ^ {d}}$
Se $d$ for infinito, então . De fato, se B é uma base, E é equipotente ao conjunto de partes finitas do conjunto infinito B × K *, portanto | E | = | B × K * | = max (| B |, | K * |) = max (| B |, | K |) . ${\ displaystyle | E | = \ max (d, | K |)}$

Em particular, um espaço vetorial K E é um espaço vetorial finito se e somente se K for finito e E for de dimensão finita.

Em particular, um finito L pode ser visto como um espaço vetorial sobre o primeiro corpo K , que tem o Cardeal um número primo p , chamado de característica de L . Se n é a dimensão de L sobre K , então L é do cardinal p n . O cardinal de qualquer campo finito é uma potência inteira de sua característica: é um número primário .

Generalização

É possível ver um espaço vetorial como um caso particular de uma matróide , e para esta última existe uma noção bem definida de dimensão. O comprimento de um módulo e a posição de um grupo abeliano livre ou mais geralmente de qualquer grupo abeliano (in) têm muitas propriedades semelhantes à dimensão dos espaços vetoriais.

Notas e referências

(in) Michael Artin , Algebra [ detalhes de publicação ], p. 93 , Definição 3.18.
Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, p. 247 , exemplo 1.