Vetor nulo

Em um espaço vetorial E sobre um campo comutativo , o vetor zero é o único vetor que representa o elemento neutro para a adição do vetor. Sua existência se dá pela definição da estrutura do espaço vetorial. Pode ser anotado ou ou mesmo , ou apenas 0. K{\ displaystyle K}0E{\ displaystyle 0_ {E} \,}0{\ displaystyle \ mathbf {0}}0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}

Como qualquer elemento neutro, o vetor zero é único. A prova é elementar: se e são dois vetores nulos do mesmo espaço vetorial E , então por nulidade de e por nulidade de , portanto . no{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}no=no+b{\ displaystyle a = a + b}b{\ displaystyle b}b=no+b{\ displaystyle b = a + b}no{\ displaystyle a}no=b{\ displaystyle a = b}

Propriedades e observações

• É o resultado da multiplicação pelo escalar qualquer vector de E .0K{\ displaystyle 0_ {K} \,}
• Para todos os espaços vetoriais E e F , e qualquer mapeamento linear , o vetor zero E é enviado por f no vetor zero F  : .f:E→F{\ displaystyle f: E \ rightarrow F}f(0E)=0F{\ displaystyle f (0_ {E}) = 0_ {F}}
• A imagem inversa do subespaço vetorial de E reduzido ao vetor zero por um mapa linear é chamada de kernel do mapa linear f .f{\ displaystyle f}
• O espaço vetorial reduzido ao vetor zero é o único espaço vetorial que possui apenas um elemento, o vetor zero. É chamado de espaço nulo .

Exemplos

• Sendo K um campo comutativo, no espaço vetorial o vetor zero é o elemento neutro aditivo , isto é .(K,+,⋅){\ displaystyle (K, +, \ cdot)}K{\ displaystyle K}0K{\ displaystyle 0_ {K}}
• Na K - espaço vectorial K n , o vector zero é o n -tuple onde é o elemento de identidade para além do corpo K .(0,...,0){\ displaystyle (0, \ ldots, 0)}0{\ displaystyle 0}
• Se E é um subespaço do vector F , o vector de zero de E é o vetor zero F .
• Para qualquer conjunto X , o vetor zero do espaço de funções reais sobre X é a função zero, que em qualquer ponto de X associa 0.F(X,R){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, R)}
• No espaço vetorial de funções contínuas de dentro , o vetor zero é a função zero.VS(R,R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
• No espaço vetorial de polinômios com coeficientes em um campo comutativo , o vetor zero é o polinômio zero.K[X]{\ displaystyle K [X]}K{\ displaystyle K}
• Quando os vectores são definidos a partir bipoints equipolente , o vector zero é representado pelas classe casais ( A , A ) formados a partir de um único ponto A .
• O único espaço vetorial K para conter apenas o vetor zero é, por definição, espaço zero . Para qualquer espaço vetorial E , existe uma injeção única do espaço zero em direção a E , que envia 0 em . A dimensão do espaço nulo é 0.{0}{\ displaystyle \ {0 \}}0E{\ displaystyle 0_ {E}}

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