Álgebra sobre um campo

Em matemática , e mais precisamente na álgebra geral , uma álgebra sobre um campo comutativo K , ou simplesmente uma K - álgebra , é uma estrutura algébrica ( A , +, ·, ×) tal que:

1. ( A , +, ·) é um espaço vetorial sobre K  ;
2. a × lei é definida de A × A a A ( lei de composição interna );
3. a lei × é bilinear .

Definições

Uma álgebra sobre um campo comutativo K é um K -espaço vetorial A dotado de uma operação x binária (ou seja, o "produto" x × y de dois elementos de A é um elemento de A ) bilinear, o que significa que para todos os vetores x , y , z em A e todos os escalares a , b em K , as seguintes igualdades são verdadeiras:

• ( x + y ) × z = x × z + y × z  ;
• x × ( y + z ) = x × y + x × z  ;
• ( ax ) × ( por ) = ( ab ) ( x × y ).

As primeiras duas igualdades refletem a distributividade da lei × em relação à lei +.

Diz-se que K é o corpo de base A . Binário é muitas vezes referida como a multiplicação em A .

Um morfismo entre duas álgebras A e B em K é um mapa f : A → B tal que

∀ x , y ∈ A , ∀ a ∈ K , f ( x × y ) = f ( x ) × f ( y ) e f ( x + ay ) = f ( x ) + af ( y ).

Duas álgebras A e B sobre K são consideradas isomórficas se houver uma bijeção de A para B, que é um morfismo de álgebras.

Generalização

Na definição, K pode ser um anel comutativo unitário e A a K - módulo . Então A é também chamado de K -álgebra e dizer que K é a base do anel A .

Álgebras associativas, álgebras comutativas e álgebras uníferas

• Uma álgebra associativa é uma álgebra sobre um anel cuja lei de composição interna × é associativa . Quando este anel é um campo, é portanto uma álgebra associativa sobre um campo .
• Uma álgebra comutativa é uma álgebra sobre um anel cuja lei interna de composição × é comutativa .
• Uma álgebra unífera é uma álgebra sobre um anel cuja lei interna de composição × admite um elemento neutro , notado 1 .

Bases e tabelas de multiplicação de uma álgebra sobre um campo

Uma base de uma álgebra A sobre um campo K é uma base de A para sua estrutura de espaço vetorial.

Se for uma base de A , então existe uma família única de elementos do campo K , como:no=(nok)k∈eu{\ displaystyle a = (a_ {k}) _ {k \ in I}}(vseu,jk)eu,j,k∈eu{\ displaystyle (c_ {i, j} ^ {k}) _ {i, j, k \ in I}}

noeu×noj=∑k∈euvseu,jknok.{\ displaystyle \ displaystyle a_ {i} \ times a_ {j} = \ sum _ {k \ in I} c_ {i, j} ^ {k} a_ {k}.}

Para i e j fixos, os coeficientes são zero, exceto um número finito deles. Dizemos que são as constantes estruturais da álgebra A com respeito à base a , e que as relações constituem a tabuada de multiplicação da álgebra A para a base a . (vseu,jk)eu,j,k∈eu{\ displaystyle (c_ {i, j} ^ {k}) _ {i, j, k \ in I}}noeu×noj=∑k∈euvseu,jknok{\ displaystyle a_ {i} \ times a_ {j} = \ sum _ {k \ in I} c_ {i, j} ^ {k} a_ {k}}

Exemplos de álgebras de dimensão finita

Álgebras associativas e comutativas

Números complexos

O conjunto de números complexos (ℂ, +, ·, ×) é uma ℝ-álgebra associativa , unífera e comutativa de dimensão 2. Uma base da álgebra ℂ consiste nos elementos 1 e i. A tabuada é composta pelas relações:

	1	eu
1	1 × 1 = 1	1 × i = i
eu	i × 1 = i	i × i = -1

Corpos acabados

Qualquer corpo finito é uma álgebra associativa, unífera e comutativa de dimensão n sobre seu subcampo primo ( F p = ℤ / p ℤ), então sua ordem é p n .

Por exemplo, o corpo finito F 4 é uma álgebra bidimensional sobre o campo F 2 = ℤ / 2ℤ cuja tabela de multiplicação em uma base (1, a) é:

	1	no
1	1 × 1 = 1	1 × a = a
no	a × 1 = a	a × a = 1 + a

Álgebras quadráticas

Podemos mostrar que qualquer álgebra unífera de dimensão 2 sobre um campo é associativa e comutativa. Sua tabuada em uma base (1, x ) tem a forma:

	1	x
1	1 × 1 = 1	1 × x = x
x	x × 1 = x	x × x = a 1 + bx

Tal álgebra é chamada de álgebra quadrática do tipo ( a , b ) (o tipo pode depender da base escolhida).

Por exemplo: ℂ é uma álgebra ℝ quadrática do tipo (-1, 0) para a base (1, i) e F 4 é uma álgebra F 2 quadrática do tipo (1, 1).

Álgebras associativas e não comutativas

Matrizes quadradas

O conjunto de matrizes quadradas de ordem n ≥ 2 com coeficientes reais é uma-álgebra associativa, unificada e não comutativa de dimensão n 2 . (Mnão(R),+,⋅,×){\ displaystyle \ left ({\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R}), +, \ cdot, \ times \ right)}

Quatérnions

O conjunto (ℍ, +, ·, ×) de quatérnions é uma álgebra ℝ associativa, unífera e não comutativa de dimensão 4.

	1	eu	j	k
1	1 × 1 = 1	1 × i = i	1 × j = j	1 × k = k
eu	i × 1 = i	i × i = -1	i × j = k	i × k = –j
j	j × 1 = j	j × i = –k	j × j = -1	j × k = i
k	k × 1 = k	k × i = j	k × j = –i	k × k = -1

Biquaternions

O conjunto de biquatérnions é uma álgebra associativa, unífera e não comutativa de dimensão 4 que é isomórfica à álgebra de matrizes quadradas de ordem 2 com coeficientes complexos. (B,+,⋅,×){\ displaystyle \ scriptstyle (\ mathbb {B}, +, \ cdot, \ times)}(M2(VS),+,⋅,×){\ displaystyle \ left ({\ mathcal {M}} _ {2} (\ mathbb {C}), +, \ cdot, \ times \ right)}

Álgebra unificada não associativa

Todas as octonions são uma dimensão unital ℝ-álgebra não associativa e não comutativa 8. (O,+,⋅,×){\ displaystyle \ scriptstyle (\ mathbb {O}, +, \ cdot, \ times)}

Álgebras não associativas e não uníferas

Produto vetorial

O espaço euclidiano ℝ 3 fornecida com o vector produto , é um ℝ-álgebra não associativo, não unital e não conmutativo (que é anti-conmutativo) de tamanho 3. (R3,+,⋅,∧){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3}, +, \ cdot, \ wedge)}

A tabela de multiplicação em uma base ortonormal dirigir ( , , ) é: você→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}C→{\ displaystyle {\ vec {w}}}

	você→{\ displaystyle {\ vec {u}}}	v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}	C→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
você→{\ displaystyle {\ vec {u}}}	você→∧você→=0→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ wedge {\ vec {u}} = {\ vec {0}}}	você→∧v→=C→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ wedge {\ vec {v}} = {\ vec {w}}}	você→∧C→=-v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ wedge {\ vec {w}} = - {\ vec {v}}}
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}	v→∧você→=-C→{\ displaystyle {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {u}} = - {\ vec {w}}}	v→∧v→=0→{\ displaystyle {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {v}} = {\ vec {0}}}	v→∧C→=você→{\ displaystyle {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {w}} = {\ vec {u}}}
C→{\ displaystyle {\ vec {w}}}	C→∧você→=v→{\ displaystyle {\ vec {w}} \ wedge {\ vec {u}} = {\ vec {v}}}	C→∧v→=-você→{\ displaystyle {\ vec {w}} \ wedge {\ vec {v}} = - {\ vec {u}}}	C→∧C→=0→{\ displaystyle {\ vec {w}} \ wedge {\ vec {w}} = {\ vec {0}}}

Gancho de mentira

Todas as matrizes quadrados de ordem n ≥ 2 com coeficientes reais, fornecidas com o suporte de Lie  : , é um ℝ-álgebra não associativo, não unital e não conmutativo dimensão N 2 . É anti-comutativo e possui propriedades que tornam a álgebra uma álgebra de Lie . [M,NÃO]=MNÃO-NÃOM{\ displaystyle [M, N] = MN-NM}(Mnão(R),+,⋅,[,]){\ displaystyle \ left ({\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R}), +, \ cdot, [,] \ right)}

Contra-exemplo

A ℝ-álgebra (ℍ, +, ·, ×) de quatérnions é um espaço vetorial ℂ, mas não é uma ℂ-álgebra porque a multiplicação × não é ℂ-bilinear: i (j × k) ≠ j × (i · K) .

Veja também

• Álgebra de Clifford
• Álgebra geométrica
• Álgebra de mentira

Notas e referências

1. N. Bourbaki , Teorias espectrais ( leia online ) , cap.  1, pág.  1.
2. N. Bourbaki, álgebra , capítulo III, p. 10
3. N. Bourbaki, Algebra , capítulo III, p. 13, proposição 1.