Um anel comutativo é um anel no qual a lei da multiplicação é comutativa .
O estudo dos anéis comutativos é denominado álgebra comutativa .
Um anel conmutativo é um (unitária) de anel em que a lei de multiplicação é conmutativo .
Na medida em anéis comutativos são particulares anéis , muitos conceitos de teoria dos anéis geral mantêm toda a sua relevância e utilidade em teoria anel comutativo: assim aqueles de morphisms anel , ideais e anel quociente , de sub-anéis , de elementos nilpotentes . É simplesmente inútil distinguir ideais à esquerda e à direita: os ideais são sistematicamente bilaterais e permitem a definição de quocientes.
Um elemento diferente de zero a de um anel comutativo é chamado de divisor de zero , quando há um elemento b diferente de zero do anel tal que ab = 0 . Um elemento a de um anel comutativo é denominado invertível (ou uma unidade ) quando possui um simétrico para a multiplicação, ou seja, quando existe um elemento de b do anel tal que ab = 1 Um elemento invertível nunca é um divisor de zero.
Um anel comutativo não reduzido a {0} que não tem divisor de zero é chamado de anel integral .
A ausência de divisores de zero talvez torne a multiplicação em um anel integral mais próxima da intuição resultante da associação de inteiros. Pode ser útil para o leitor novato dar uma olhada no artigo " Anel Integral " antes de passar para a próxima seção, o restante deste artigo lidando apenas com questões que fazem sentido em um anel contendo possíveis divisórias.
Como na teoria geral dos anéis comutativos, a manipulação de ideais desempenha um papel importante no estudo de anéis integrais; estendendo-se a outros gerentes técnicos aritméticos lapidados em inteiros, é necessário definir os anéis principais como aqueles em que todo ideal é um ideal principal e outras classes importantes de integridade de anéis ( anéis fatoriais , anéis euclidianos , ...).
Chamamos um corpo comutativo de anel comutativo não reduzido a {0} no qual todos os elementos diferentes de zero são invertíveis. Os campos comutativos são, portanto, anéis integrais particularmente simples: um campo comutativo tem apenas dois ideais, ele mesmo e {0}.
Da mesma forma que podemos imergir o anel Z dos inteiros no campo Q dos racionais, ou o anel R [ X ] dos polinômios reais no campo R ( X ) das frações racionais , qualquer anel integral está imerso em um campo comutativo associado a isso. Esta operação é um caso especial simples da localização tratada abaixo no contexto mais geral de anéis que podem conter divisores de zero.
Seja A um anel comutativo. Um ideal P de A é chamado de ideal primo quando o quociente de anel A / P é integral. Esta condição é equivalente a seguinte condição: P é uma parte rígida Um e para todos os x , y de uma , quando o produto xy é em P , então x pertence a P ou que pertence a P .
Mostramos que a interseção de todos os ideais primos é igual ao conjunto de nilpotentes de A (e a chamamos de nilradical de A ).
Diz-se que um anel está reduzido quando não tem nilpotentes (exceto 0).
Seja A um anel comutativo. Um ideal M de A é chamado de ideal máximo quando o quociente de anel A / M é um campo. Esta condição é equivalente à seguinte condição: M é um elemento máximo no conjunto de ideais diferente de A , ordenado por inclusão.
Um teorema de Krull assegura que todo ideal próprio (isto é, diferente de A ) está contido em pelo menos um ideal máximo.
A localização é uma técnica de construção que generaliza a construção do corpo de frações de um anel integral.
Se B é um subconjunto de um anel comutativo A , que não tem divisor de zero e que é estável para multiplicação, ou seja, o produto de quaisquer dois elementos de B pertence a B , então o conjunto de frações formais ( a , b ) onde a é qualquer elemento de A e b é qualquer elemento de B forma um novo anel comutativo; adição, subtração, multiplicação e igualdade sendo definidas neste novo conjunto da mesma forma que para as frações ordinárias. O novo anel é denotado Um B e é chamado o local de um a B .
Um exemplo que ilustra o acima é localizar o anel de inteiros no subconjunto de inteiros ímpares estáveis por multiplicação. O campo dos números racionais é a localização do anel comutativo de inteiros para o conjunto estável pela multiplicação de inteiros diferentes de zero.
De acordo com as propriedades dos ideais de um anel A, distinguimos famílias de anéis particulares, tais como:
Esses anéis são organizados de acordo com uma hierarquia, da qual o diagrama abaixo dá uma ideia parcial. A hierarquia vertical vai do anel mais geral ao anel mais particular, cada seta descendente indica uma filiação. Observe que o anel com mais propriedades semelhantes às de Z é o anel euclidiano . O corpo que é um caso especial de um anel euclidiano não é mostrado neste diagrama.
Pseudo-anel comutativo |
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Anel comutativo unitário |
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Anel Comutativo Noetheriano |
Anel integral | ||||||||||||||||||||||||||
Anel Comutativo Artiniano |
Anel totalmente fechado |
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Anel GCD integrado |
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Anel dedekind |
Anel fatorial |
Ring Bézout integra |
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Anel principal | |||||||||||||||||||||||||||
Anel euclidiano | |||||||||||||||||||||||||||
Se I for um ideal de um anel comutativo A , as potências de I formam uma vizinhança topológica de 0 que permite que A seja considerado um anel topológico . A pode ser concluído mantendo esta topologia. Por exemplo, se é um corpo , o anel de séries de energia formais numa coeficientes variáveis em , é concluído o anel de polinómios com coeficientes em sob a topologia produzido pelas potências do ideal gerado por X .
Antoine Chambert-Loir , “ Commutative algebra ” , University of Rennes I ,2005, indivíduo. 2: "Anéis, ideais, álgebras"
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