Categoria de Módulos
Em matemática, a categoria de módulos em um monóide R é uma construção que explica abstratamente as propriedades observadas no estudo dos módulos em um anel , generalizando-as. O estudo das categorias de módulos aparece naturalmente na teoria da representação e na geometria algébrica .
Desde R -module é um espaço vectorial , quando R é um corpo conmutativo , pode, em tal caso identificar a categoria de módulos em R para a categoria de espaço vectorial (em) no corpo R . Por outro lado, todo grupo abeliano possui uma estrutura natural de -módulo, o que permite identificar a categoria de módulo à categoria de grupos abelianos .
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
Definição
É C uma categoria monoidal e R um monoid de C . A categoria de módulos em R , denotada R - Mod , é a categoria definida da seguinte forma:
Podemos dotar os hom-sets de R - Mod com uma estrutura de grupo abeliana . Na verdade, se M, N são dois objetos, e se , podemos definir
f1,f2∈HomR-Mod(M,NÃO){\ displaystyle f_ {1}, f_ {2} \ in \ mathrm {Hom} _ {R {\ text {-}} \ mathrm {Mod}} (M, N)}
(f1+f2):m↦f1(m)+f2(m){\ displaystyle (f_ {1} + f_ {2}): m \ mapsto f_ {1} (m) + f_ {2} (m)}e a composição dos morfismos é dada pelo produto tensorial resultante da categoria Ab dos grupos abelianos :
HomR-Mod(NO,B)⊗HomR-Mod(B,VS)→HomR-Mod(NO,VS){\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {R {\ text {-}} \ mathrm {Mod}} (A, B) \ otimes \ mathrm {Hom} _ {R {\ text {-}} \ mathrm {Mod }} (B, C) \ to \ mathrm {Hom} _ {R {\ text {-}} \ mathrm {Mod}} (A, C)}o que o torna uma categoria enriquecida com Ab (portanto, pré-aditivo). Ao estender essa estrutura à de um módulo R , o produto tensorial dos módulos torna possível dotar R - Mod com uma estrutura de categoria monoidal , com R por unidade. Ele também possui um functor interno Hom dado por este produto tensorial, o que o torna uma categoria monoidal fechada.
Propriedades da categoria de módulos
Propriedades categóricas
- Categoria R - Mod é pré- aditivo (en) , aditivo e abeliano ;
- A categoria R - Mod é monóide fechado ;
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R - Mod admite todos os produtos e coprodutos;
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R - Mod admite todos os núcleos (in) e cokernels;
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R - Mod é uma categoria Grothendieck (en) ;
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R - Mod é uma bifibração em R , dada pelo functor de projeção canônica ;R-Mod→VSReunãog{\ displaystyle R {\ text {-}} \ mathrm {Mod} \ to \ mathrm {CRing}}
Objetos
Morfismos
- Os monomorfismos são morfismos injetivos. Além disso, qualquer monomorfismo é o núcleo de seu caroço;
- Os epimorfismos são morfismos sobrejetivos. Além disso, todo epimorfismo é o cerne de seu núcleo;
Limites
Veja também
Artigos relacionados
Notas
-
Por convenção, geralmente consideramos os módulos R à esquerda.
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Esses objetos são únicos, exceto por isomorfismos.
Referências
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">