Colinearidade

Em álgebra linear , dois vectores de u e de v de um espaço vectorial E são colineares se houver um escalar k tal que u = kv ou v = ku . Quaisquer dois vetores de uma linha vetorial são colineares. Quando se refere a um par de vectores, colinearidade é o oposto de independência linear : dois vectores de u e v são colineares se o par ( u , v ) não é livre .

Etimologicamente, colinear significa na mesma linha : na geometria clássica, dois vetores são colineares se pudermos encontrar dois representantes localizados na mesma linha.

A colinearidade é uma ferramenta importante da geometria no ensino médio: alguns pontos do plano ou espaço definem um vetor geométrico ; se e (resp e ) são pontos não coincidentes, os vetores e são colineares se e somente se as retas e são paralelas. Essa equivalência explica a importância da colinearidade na geometria afim . $(A, B)$ $\ overrightarrow {AB}$ $NO$ $B$ $NO'$ $B '$ $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {A'B '}$ $(AB)$ $(A'B ')$

Exemplos

Em qualquer dimensão, se u é o vector de zero , então u e v são colineares para todos v em E , porque u = 0 v .

Se u for um vetor diferente de zero de E , o conjunto de vetores colineares com u é a reta K u .

Em um espaço vetorial no campo F 2 , dois vetores diferentes de zero são colineares se e somente se eles forem iguais.

Geometria afim

Na geometria afim , dois vetores são colineares se e somente se houver dois representantes desses vetores localizados na mesma linha, ou seja, há três pontos A, B, C alinhados de forma que

\ overrightarrow {AB} = \ vec u

\ overrightarrow {AC} = \ vec v

A colinearidade é uma noção importante na geometria afim, pois permite caracterizar

O alinhamento : os pontos A, B e C estão alinhados se e somente se os vetores e são colineares. $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {AC}$
O paralelismo de duas linhas: as linhas (AB) e (CD) são paralelas ou coincidentes se e somente se os vetores e são colineares $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {CD}$

Relação de equivalência

No conjunto de vetores diferentes de zero , a relação de colinearidade é

reflexivo : um vetor é colinear consigo mesmo
simétrico: se um vetor é colinear com um vetor, então é colinear com ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ vec v}$ ${\ vec {u}}$
transitivo : Se um vetor é colinear com e se é colinear com, então é colinear com ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ vec v}$ ${\ vec w}$ ${\ vec {u}}$ ${\ vec w}$

Isso nos permite dizer que (no conjunto dos vetores diferentes de zero) a relação de colinearidade é uma relação de equivalência cujas classes de equivalência formam o espaço projetivo associado ao espaço vetorial.

Cálculo em coordenadas

Let Ser dois vectores de u e de v no plano R 2 , cujas coordenadas são u = ( L 1 , L 2 ) e V = ( V 1 , v 2 ). Se eles são ambos não-zero, a colinearidade dos dois vectores de u e de v resultados em uma relação de proporcionalidade entre os pares ( L 1 , L 2 ) e ( v 1 , v 2 ). O produto cruzado regra implica: u e v são colineares se e somente se u 1 v 2 = u 2 v 1 .

Essa equivalência pode ser generalizada para a dimensão superior. Deixe- u e v ser dois vetores, cujas coordenadas em um fixo de base são

u = (u_1, \ pontos, u_n)

{\ displaystyle v = (v_ {1}, \ dots, v_ {n}).}

Em seguida, u e v são colineares se e somente se u i v j = u j v i para qualquer índice i e qualquer índice j > i .

Na dimensão três, dois vetores são colineares se e somente se seu produto vetorial for zero.

Na filogenia