Produto tensorial de dois mapas lineares

O produto tensor de dois mapas lineares é uma construção que a dois mapas lineares entre um - módulos , u a partir de E 1 em M 1 e v a partir de E 2 no F 2 , associa um mapa linear u ⊗ v entre produtos tensor , de E 1 ⊗ A E 2 em F 1 ⊗ A F 2 .

Definição

Assumimos nesta parte que o anel A é comutativo . Com as anotações da introdução, o aplicativo

$E_ {1} \ vezes E_ {2} \ a F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}, \ quad (x, y) \ mapsto u (x) \ otimes v (y)$

é A - bilinear . De acordo com a propriedade universal do produto tensorial, existe um mapa linear único tal que $\ varphi (u, v): E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2} \ a F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}$

${\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}, \ varphi (u, v) (x \ otimes y) = u (x) \ otimes v (y ).}$

Além disso, a aplicação do espaço no módulo é bilinear; há, portanto, um mapa linear canônico $\ varphi$ ${\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1}, F_ {1}) \ times {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {2}, F_ {2})$ ${\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2})$

\ psi: {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1}, F_ {1}) \ otimes _ {A} {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {2 }, F_ {2}) \ to {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ { 2})

tal como

$\ varphi (u, v) = \ psi (u \ otimes v)$ para todas as aplicações A -linéaires , . $u: E_ {1} \ para F_ {1}$ $v: E_ {2} \ a F_ {2}$

A aplicação do in é chamado o produto tensor de u e v , e, na prática, está escrito u ⊗ v . Cuidado, essa notação é abusiva, pois pode designar dois objetos de natureza diferente: $\ varphi (u, v)$ $E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}$ $F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}$

o elemento do produto tensorial (que não é um mapa linear), ${\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1}, F_ {1}) \ otimes _ {A} {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {2}, F_ {2})$
sua imagem por ψ em (a aplicação A -linear ). ${\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2})$ $\ varphi (u, v)$

Principalmente porque nem sempre é um isomorfismo , de forma que é impossível identificar os dois “ u ⊗ v ”.

No entanto, quando E 1 e E 2 são módulos livres de classificação finita (por exemplo, espaços vetoriais de dimensão finita ), ψ é um isomorfismo, e faz sentido confundir as duas notações u ⊗ v . Em particular, ψ fornece, sob esta suposição, isomorfismos canônicos de E 1 * ⊗ A E 2 * em ( E 1 ⊗ A E 2 ) * e de E 1 * ⊗ A F 2 em Hom A ( E 1 , F 2 ) .

Demonstração do último resultado

Qualquer livre Uma -module de classificação p é isomorfa (através da escolha de uma base) para um p , e para qualquer um -module F , Hom Uma ( A P , F ) é (canonicamente) isomorfo a um p ⊗ Um F . Portanto, é suficiente verificar que, para todos os inteiros m e n , o seguinte mapa canônico, correspondendo a ψ por meio dessas identificações, é um isomorfismo:

(A ^ {m} \ otimes _ {A} F_ {1}) \ otimes _ {A} (A ^ {n} \ otimes _ {A} F_ {2}) \ to {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (A ^ {m} \ otimes _ {A} A ^ {n}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}).

Por associatividade e comutatividade de ⊗ A e pelo isomorfismo entre A m ⊗ A A n e A mn , este é simplesmente um terceiro caso

A ^ {{mn}} \ otimes _ {A} (F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}) \ to {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (A ^ {{mn }}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2})

do isomorfismo canônico invocado no início.

Propriedades

Se forem seis módulos, e se dermos aplicações lineares , enquanto $E_ {1}, E_ {2}, F_ {1}, F_ {2}, G_ {1}, G_ {2}$ $u_ {i}: E_ {i} \ para F_ {i}$ $v_ {i}: F_ {i} \ para G_ {i}$ $(v_ {1} \ circ u_ {1}) \ otimes (v_ {2} \ circ u_ {2}) = (v_ {1} \ otimes v_ {2}) \ circ (u_ {1} \ otimes u_ { 2}).$
Se for um isomorfismo de on e for o isomorfismo recíproco, então $u_i$ $E_i$ $F_i$ $v_ {i}$ $u_ {1} \ otimes u_ {2}$ é invertível e seu inverso é . $v_ {1} \ otimes v_ {2}$