Representação de grupo

Em matemática , uma representação de grupo descreve um grupo fazendo com que ele atue em um espaço vetorial de maneira linear . Em outras palavras, tentamos ver o grupo como um grupo de matrizes , daí o termo representação . Podemos assim, a partir das propriedades relativamente conhecidas do grupo de automorfismos do espaço vetorial , chegar a deduzir algumas propriedades do grupo.

Este é um dos conceitos importantes da teoria da representação .

Definições

Ou G grupo, K um campo conmutativo e V um espaço vectorial sobre K . Chamamos de representação do grupo G uma ação linear de G sobre V , ou seja, um morfismo de grupos de G no grupo linear GL ( V ) . Mais explicitamente, é um aplicativo

ρ : G→Geu(V)tal comoρ(g1)∘ρ(g2)=ρ(g1g2).{\ displaystyle \ rho ~: ~ G \ to \ mathrm {GL} (V) \ quad {\ text {tal que}} \ quad \ rho (g_ {1}) \ circ \ rho (g_ {2}) = \ rho (g_ {1} g_ {2}).}

Para que um mapa ρ de G no espaço de endomorfismos de V satisfazendo ρ ( g 1 ) ∘ρ ( g 2 ) = ρ ( g 1 g 2 ) está de fato com valores em GL ( V ), basta que um de ρ ( g ) é um automorfismo.

Para escrever a ação de um elemento g do grupo sobre um elemento v do espaço vetorial por meio da representação ρ, às vezes denotaremos por ρ ( g ) ( v ), ρ ( g ). v ou mesmo gv se não houver ambigüidade. Às vezes denotamos uma representação ( V , ρ). Algumas vezes também é referida (e impropriamente) que V é uma representação de L .

Um morfismo de representações de G , ou "operador de intercalação", de uma representação ( V , ρ) para uma representação ( W , σ), é um mapa linear K φ de V para W tal que para qualquer g pertencente a G temos

φ∘ρ(g)=σ(g)∘φ.{\ displaystyle \ varphi \ circ \ rho (g) = \ sigma (g) \ circ \ varphi.}

Φ se também que, em seguida, é um morfismo L equivariante de V em W .

Um caso importante é aquele onde φ é um isomorfismo  : as representações ( V , ρ) e ( W , σ) são ditas isomórficas ou equivalentes se existe um isomorfismo φ de V para W que é G -equivariante, isto é - ou seja, que satisfaz, para qualquer g pertencente a G  :

ρ(g)=φ-1∘σ(g)∘φ.{\ displaystyle \ rho (g) = \ varphi ^ {- 1} \ circ \ sigma (g) \ circ \ varphi.}

V e W têm a mesma dimensão .

Exemplos

• A unidade de representação de L sobre a direita vector K é um que qualquer elemento de L associa a identidade de K .
• Se G é um subgrupo de GL n ( K ), G atua naturalmente em K n . A representação associada é chamada de representação padrão.
• Se G é o cíclico grupo acabado ℤ / n ℤ, os dados de uma representação de L em V é equivalente a selecção de um item f GL ( V ) tal que f n = ID V .
• A partir de uma ação de G em um conjunto X , podemos definir uma representação de G no espaço K X dos mapas de X em K , colocando:(ρ(g)(f))(x)=f(g-1.x){\ displaystyle \ left (\ rho (g) (f) \ right) (x) = f (g ^ {- 1} .x)}e restringi-lo a vários subespaços estáveis , como:
  • o subespaço K ( X ) de mapeamentos de suporte finito, cuja base canônica (δ x ) x ∈ X (onde δ denota o símbolo de Kronecker  : δ x ( y ) é igual a 1 para y = xe é igual a 0 para os outros y ∈ X ) é permutado por cada elemento do grupo: ρ ( g ) (δ x ) = δ gx . Para a ação esquerda de G sobre si mesmo, a representação correspondente de G em K ( G ) é chamada de representação regular esquerda de G  ;
  • o subespaço de funções contínuas em X , se G é um grupo topológico e X um espaço topológico e se a ação é contínua ou mesmo se só temos, para todo g ∈ G , continuidade do mapa X → X , x ↦ gx .

Glossário de representações

• Como qualquer ação de grupo, a representação é dita fiel  (in) se o morfismo ρ for injetivo . Esta noção é diferente da de módulo fiel  : o espaço vetorial K da representação sendo um módulo na álgebra K [ G ] do grupo G ( cf. infra ), se este módulo for fiel então a representação de G é fiel , mas o inverso é falso.
• A representação é dita matriz se o espaço V é da forma K n para um certo número natural n , caso em que o grupo (GL ( V ), ∘) é canonicamente identificado com o grupo GL n ( K ) do quadrado matrizes d 'ordem n com coeficientes invertíveis em K (em outras palavras: do determinante não nulo), fornecidas com o produto da matriz . Através desta identificação, duas representações de matriz R e S são equivalentes se e somente se existir uma matriz invertível P tal que, para cada elemento g de G , R g = P -1 S g P .
• A dimensão de V é chamada de grau de representação. Se V é de dimensão finita n (que é sempre assumido implicitamente na teoria das representações de um grupo finito ), a representação é equivalente a uma representação matricial, por meio da escolha arbitrária de um isomorfismo φ de K n em V .

Detalhes

Seja (e i ) i = 1, ..., n a imagem por φ da base canônica de K n . Os dados desta base de V permitem associar a cada endomorfismo a de V uma matriz quadrada de ordem n , cujos coeficientes a ij são os elementos de K dados pelas seguintes igualdades:

∀j∈[[1;não]]no(ej)=∑eu=1nãonoeu,j⋅eeu{\ displaystyle \ forall j \ in [\! [1; n] \!] \ quad a (e_ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} \ cdot e_ {eu}}

A aplicação que para um endomorfismo uma associados a matriz definida anteriormente é um isomorfismo dos anéis , do anel G ( V ) dos endomorfismos de V em que, M n ( K ), de matrizes quadrados de ordem n com coeficientes K . Esse morfismo induz um isomorfismo de grupo entre os grupos dos invertíveis desses dois anéis: os grupos GL ( V ) e GL n ( K ). Por composição com este isomorfismo de grupo, qualquer representação de G em V é equivalente a uma representação matricial, com φ para isomorfismo entrelaçado.

• Uma sub-representação de ( V , ρ ) é a representação ( W , σ), obtido por restrição de um subespaço W constante sob a acção da L .

Detalhes

Supomos que para qualquer elemento g de G , W é estável por ρ ( g ). Pode-se então definir cada σ endomorfismo ( g ) de W como o ρ restrição ( g ) para W . O σ ( g ) verifica σ ( g 1 ) ∘σ ( g 2 ) = σ ( g 1 g 2 ) e a imagem por σ do elemento neutro de G é a restrição a W da identidade de V , portanto é a identidade de W , que é um automorphism de W . As condições suficientes sejam satisfeitas para que σ é uma representação de G em W .

• Uma representação de grau diferente de zero é dito ser irredutível se não admitir qualquer outro sub-representação do que a própria e a representação do grau zero, por outras palavras, se V não tem um subespaço adequado estável pela acção da L . Em termos de matriz, isso significa que não se pode encontrar uma base na qual a representação de G seja dada por matrizes todas com a mesma estrutura de bloco triangular superior (com pelo menos dois blocos diagonais).
• A soma direta de uma família de representações ( V i , ρ i ) de G é a representação ρ na soma direta do espaço vetorial de V i definida por: ρ ( g ) = ⊕ i ρ i ( g ). Em termos matriciais, isso significa que ao justapor as bases de V i para formar uma base de sua soma direta, a representação ρ é feita por matrizes diagonais por blocos, cada bloco correspondendo a uma das representações ρ i .
• Uma representação é considerada completamente redutível se for uma soma direta de representações irredutíveis.
• Duas representações são consideradas disjuntas se não tiverem um componente irredutível comum ou se não houver morfismo diferente de zero entre elas.
• Se V é um espaço de Hilbert cujo produto escalar é invariante sob a ação de G , dizemos que a representação é unitária  (in) .
• Se G é um grupo topológico e V é um espaço vetorial topológico , ρ é uma representação linear contínua de G se a aplicação G × V → V , ( g , v ) ↦ gv é contínua .

Link com os módulos K [ G ]

O K -álgebra de L , denotado K [ L ] e consiste em finito linear combinações formais de elementos G com coeficientes em K é um K álgebra associativa cuja multiplicação naturalmente estende o direito do grupo L .

Podemos então estender, e isso de forma única, a representação ρ em um morfismo de K -álgebras de K [ G ] para End ( V ), definindo

ρ(∑g∈Gnogg)=∑g∈Gnogρ(g).{\ displaystyle \ rho \ left (\ sum _ {g \ in G} a_ {g} g \ right) = \ sum _ {g \ in G} a_ {g} \ rho (g).}

Isso torna V a K [ G ] - módulo . Também é dito que V é um módulo G  (en) .

Por outro lado, dado um K [ L ] -module fornece uma representação do L .

Por meio deste "dicionário":

• um morfismo de representações corresponde a um morfismo de módulos K [ G ];
• a representação regular (cf. seção “Exemplos” acima) corresponde à estrutura natural de K [ G ] vista como um módulo à esquerda sobre si mesmo;
• uma representação ( V , ρ) é irredutível se e somente se V for simples como um módulo K [ G ];
• é completamente redutível se e somente se V for semi-simples .

Irredutibilidade

O fato de considerar representações irredutíveis torna possível simplificar muito certos raciocínios: por exemplo, de acordo com o lema de Schur , um morfismo entre dois módulos simples é zero ou invertível.

Muitas vezes pode trazer o estudo das representações de G para o estudo de suas representações irredutíveis: se V não é irredutível, podemos sempre considerar um subespaço de V que é estável em G . Se V for de dimensão finita, podemos acabar encontrando um submódulo simples.

Teorema de Maschke  -  Se G é um grupo finito cuja ordem não é divisível pela característica de K , então qualquermódulo K [ G ] é semi-simples (ou equivalentemente: qualquer representação de G em umespaço vetorial K é completamente redutível) .

Este teorema é parcialmente generalizado para representações contínuas de grupos compactos .

Se G é um grupo finito, qualquer representação complexa irredutível (de grau finito) de G é equivalente a uma sub-representação da representação regular.

Veja também

• Representação projetiva
• Representação afim  (em)

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