Gerando parte de um grupo

Na teoria dos grupos , uma parte geradora de um grupo é uma parte A desse grupo, de modo que qualquer elemento do grupo é escrito como o produto de um número finito de elementos de A e seus inversos.

Diz-se que um grupo é do tipo finito quando admite uma parte geradora finita . Um grupo gerado por um único elemento é isomórfico ao grupo aditivo de inteiros relativos (ℤ, +) ou a um grupo aditivo de classes módulo n (ℤ / n ℤ, +); é considerado um grupo monogênico . Os subgrupos de grupos comutativos de tipo finito também são de tipo finito, mas isso não é verdade sem a suposição de comutatividade.

Subgrupo gerado por um partido

Seja G um grupo. Qualquer intersecção de subgrupos de G é um subgrupo de L . Para a parte S de L , existe um subgrupo G mínima para inclusão entre os subgrupos contendo S , ou seja a intersecção de todos os subgrupos que contêm S . Ele é chamado o subgrupo gerado por S , e observa-se ⟨ S ⟩.

Descrição: Nós temos uma descrição explícita dos elementos do grupo ⟨ S ⟩. Estes são exatamente os produtos de elementos ou inversos de S :

{\ displaystyle \ left \ langle S \ right \ rangle = \ left \ {x_ {1} ^ {\ varejpsilon _ {1}} x_ {2} ^ {\ varepsilon _ {2}} \ cdots x_ {n} ^ {\ varejpsilon _ {n}} \ mid n \ in \ mathbb {N} \; {\ mbox {et}} \; \ forall i, x_ {i} \ in S, \ varepsilon _ {i} = \ pm 1 \ certo \}.}

Exemplos:

No grupo cíclico ℤ / n ℤ, o subgrupo gerado pela classe de um inteiro k é o subgrupo ℤ / ( n / d ) ℤ onde d denota o GCD de k e n .
No caso de um grupo finito G , o inverso de um elemento x é uma potência de x (mais precisamente, temos x −1 = x d –1 , onde d denota a ordem de x ). Como resultado, o subgrupo gerado por um conjunto sous- S de um grupo finito L , é o conjunto de elementos de G que são produzidos elementos de S .

Gerando parte de um grupo

Dizemos que S é uma parte geradora do grupo G , ou que G é gerado por S , quando o subgrupo gerado por S é G :

{\ displaystyle G = \ langle S \ rangle}

Em outras palavras, qualquer elemento de G é um produto de elementos de S ou seus inversos.

Exemplos:

Qualquer grupo G tem pelo menos dois geradores partes: G -se e G \ { e }, onde e denota o elemento neutro da G .
Para qualquer subgrupo H de G diferente de G , o complemento S = G \ H é uma parte geradora de G (na verdade, qualquer elemento de G pertence a S ou a H , e no segundo caso, é escrito como o produto de dois elementos de S , um dos quais é escolhido arbitrariamente e o outro é determinado por essa escolha).

Todo grupo finito de ordem $n$ tem uma parte geradora de ordem , onde é a decomposição de $n$ em fatores primos . ${\ displaystyle \ leq \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ alpha _ {p} \ leq \ lfloor \ log _ {2} n \ rfloor}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {\ alpha _ {p}}}$

Grupos de tipo finito

Grupo monogênico e grupo cíclico

Um grupo é considerado monogênico se for gerado por apenas um de seus elementos:

G é monogênico se existe um elemento a de G tal que G = ⟨{ a }⟩.

Se, além disso, estiver acabado, é dito que é cíclico .

A classificação de grupos monogênicos não é difícil. Se a gera G , o morfismo dos grupos ℤ → G , n ↦ a n é sobrejetora . Pelo teorema do isomorfismo , este homomorfismo induz isomorfismo: G ≃ ℤ / ker ( f ) . No entanto, ker ( f ) é um subgrupo de ℤ, e esses subgrupos são bem conhecidos: são grupos n ℤ com n inteiro natural. O isomorfismo acima é então escrito: G ≃ ℤ / n ℤ.

Até o isomorfismo , existe um grupo monogênico infinito único (correspondendo a n = 0), e para cada número inteiro n > 0, um grupo cíclico único de n cardinal .

Os geradores de ℤ / n ℤ são exatamente as classes de inteiros k primos com n . O número dessas classes é denotado por φ ( n ). A função φ é a indicatriz de Euler , ela desempenha um grande papel na aritmética .

Grupo de tipo finito

Diz-se que um grupo é do tipo finito se tiver uma parte geradora finita.

Isso equivale a dizer que o grupo é um quociente de um grupo livre sobre um número finito de geradores.

Para grupos não especificados de tipo finito, pode-se fazer algumas observações gerais:

Qualquer grupo de tipo finito é no máximo contável , mas o inverso é falso: por exemplo, o grupo aditivo de racionais não é do tipo finito.
Seja G um grupo e H um subgrupo distinto . Se G for do tipo finito, o grupo de quocientes G / H também. Se H e G / H são do tipo finito, então G também.
Todos os subgrupos de índice terminaram um grupo gerado finitamente é gerado finitamente ( ver Teorema Nielsen-Schreier ou lema de Schreier ).
Um subgrupo, ainda distinguida, de um grupo de tipo finito não sempre do tipo finito é: por exemplo, o grupo derivado a partir do grupo livre F { um , b } em dois geradores um e b é o grupo livre em uma infinidade contáveis de geradores: os comutadores [ a m , b n ] para todos os inteiros diferentes de zero m, n .
Um grupo é considerado noetheriano se todos os seus subgrupos são do tipo finito, ou se o conjunto de seus subgrupos (ordenados por inclusão) satisfaz a condição de cadeia ascendente . Qualquer grupo policíclico (in) (em particular qualquer grupo super-resolvível ), é Noetherian: seus subgrupos têm até uma apresentação finita .
Um grupo é considerado artístico se todos os seus subgrupos satisfizerem a condição de cadeia descendente . Qualquer extensão de um grupo Artinian Abelian por um grupo finito é um grupo Artinian.

Para um grupo abeliano , essas duas noções são respectivamente equivalentes às do módulo Noetheriano e do módulo Artiniano ( em ℤ ). Os grupos abelianos Noetherianos são, portanto, os grupos abelianos de tipo finito , e os grupos abelianos Artinianos são os produtos diretos de um grupo abeliano finito por um número finito de grupos Prüfer .

Qualquer grupo abeliano de tipo finito é um produto direto de um número finito de grupos monogênicos: existe até mesmo um único inteiro r e uma única sequência finita de inteiros naturais, cada um dos quais divide o próximo ,, de modo que G é isomórfico a . O caso especial de grupos abelianos finitos ( r = 0) é o teorema de Kronecker . $n_1 | n_2 | \ pontos | n_s$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r} \ times \ mathbb {Z} / n_ {1} \ mathbb {Z} \ times \ dots \ times \ mathbb {Z} / n_ {s} \ mathbb {Z} }$

Um exemplo de uma parte do gerador

Seja K um campo comutativo , o grupo linear especial SL n ( K ) é gerado pelas matrizes de transvecção .

Referências

Ver, por exemplo, Daniel Guin e Thomas Hausberger, Algebra 1 (L3M1) , EDP Sciences ,2008( leia online ) , p. 136.
Jean Vuillemin (en) , " Como verificar a associatividade de uma mesa de grupo ", Theoretical Computer Science , vol. 4, n o 1,1977, p. 77-82 ( ler online ).

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