Lei cosseno
Em matemática, a lei do cosseno é um teorema da geometria comumente usado em trigonometria , que conecta em um triângulo o comprimento de um lado ao outro e o cosseno do ângulo formado por esses dois lados. Esta lei é expressa de forma semelhante na geometria plana, esférica ou hiperbólica .
Em relação à geometria plana, ela também é conhecida como teorema de Al-Kashi na França , ou teorema de Pitágoras generalizado . Ele realmente generaliza o teorema de Pitágoras para triângulos não retos. Embora um resultado semelhante (apenas com comprimentos) já fosse conhecido por Euclides, o nome francês do matemático persa Ghiyath Al-Kashi (1380-1429) apareceu na década de 1990 em livros escolares publicados na França, o teorema das denominações generalizou Pitagórico ou lei de cossenos usados até então.
Em geometria plana
Estados
A lei dos cossenos é declarada da seguinte forma:
Considere-se um triângulo ABC, em que usamos as notações habituais expostas na figura 1: por um lado
α ,
β e
γ para os ângulos e, por outro lado,
um ,
b e
c para os comprimentos dos lados, respectivamente, em frente de esses ângulos. Em seguida, a seguinte igualdade é verificada:
vs2=no2+b2-2nob porque γ.{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ \ cos \ \ gamma.}
História
O Elementos de Euclides , que remonta ao III ª século aC. J. - C., já continha uma abordagem geométrica da generalização do teorema de Pitágoras : as proposições 12 e 13 do livro II , tratam separadamente o caso de um triângulo obtuso e o de um triângulo acutângulo . A ausência de uma função trigonométrica e de álgebra obriga a formular o teorema em termos de diferenças de áreas. Portanto, a proposição 12 afirma:
"Em triângulos obtusos, o quadrado do lado subjacente ao ângulo obtuso é maior do que os quadrados dos lados que incluem o ângulo obtuso, duas vezes o retângulo incluído sob o dos lados do ângulo obtuso em cuja extensão a perpendicular cai, e sob a linha tirada externamente do ângulo perpendicular ao obtuso. "
- Euclides, os elementos
Ao observar ABC o triângulo do ângulo obtuso C e H o pé da altura resultante de B , as notações modernas permitem que a afirmação seja resumida da seguinte forma:
NOB2=VSNO2+VSB2+2VSH×NOVS{\ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} + 2CH \ vezes AC}
Não foi até a trigonometria árabe-muçulmana na Idade Média para ver o teorema evoluir em sua forma e em seu escopo. Durante o mesmo período, as primeiras tabelas trigonométricas foram estabelecidas para as funções seno e cosseno . Em 1428, encontramos uma declaração do teorema, usando os cossenos, no trabalho de al-Kashi , As chaves da aritmética .
É no início do XIX E século que os modernos notações algébricas torná-lo possível escrever o teorema na sua forma actual e que leva em muitas línguas nome da lei (ou teorema) de co-senos.
O teorema e suas aplicações
A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras , pois permite afirmar que o ângulo γ é correto (em outras palavras cos γ = 0 ) se e somente se c 2 = a 2 + b 2 .
Mais geralmente, o teorema é usado na triangulação para resolver um triângulo , ou seja, para determinar
- o terceiro lado de um triângulo para o qual conhecemos um ângulo e os lados adjacentes:
vs=no2+b2-2nobporqueγ{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}}} ;
- os ângulos de um triângulo cujos três lados são conhecidos:
γ=arccosno2+b2-vs22nob.{\ displaystyle \ gamma = \ arccos {\ dfrac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}.}Estas fórmulas são numericamente instáveis no caso de triângulos de pinos, ou seja, quando c é pequeno na frente de a e b - ou, equivalentemente, quando γ é pequeno na frente de 1.
Há um corolário da lei dos cossenos: para dois triângulos diretamente semelhantes ABC e A'B'C '
vsvs′=nono′+bb′-(nob′+no′b)porqueγ.{\ displaystyle cc '= aa' + bb '- (ab' + a'b) \ cos \ gamma. \,}
Manifestações
Assim como o teorema de Pitágoras , a lei do cosseno tem muitas provas, algumas usando propriedades de área como Euclides ou a lei do cosseno, outras usando propriedades trigonométricas ou relacionadas a círculos. Finalmente, a lei dos cossenos pode ser vista como uma aplicação das propriedades no produto escalar .
Demonstração de Euclides
A demonstração de Euclides por proposição 12 (ângulo obtuso) e 13 (ângulo agudo) baseia-se na teorema de Pitágoras e envolve ponto H altura do pé depois de B . Para Euclides, esta propriedade é uma propriedade sobre áreas. Para o ângulo obtuso (proposição 12), Euclides constrói o quadrado fora do triângulo AHB de lado [ AH ] e nota que
NOH2=VSH2+VSNO2+2×VSH×NOVS{\ displaystyle AH ^ {2} = CH ^ {2} + CA ^ {2} +2 \ vezes CH \ vezes AC}Em seguida, basta adicionar a área do quadrado do lado HB
NOH2+HB2=HB2+VSH2+VSNO2+2×VSH×NOVS{\ displaystyle AH ^ {2} + HB ^ {2} = HB ^ {2} + CH ^ {2} + CA ^ {2} +2 \ vezes CH \ vezes AC}e usar o teorema de Pitágoras duas vezes
no triângulo retângulo AHB
NOB2=NOH2+HB2{\ displaystyle AB ^ {2} = AH ^ {2} + HB ^ {2}}
no triângulo retângulo CHB
VSB2=HB2+VSH2{\ displaystyle CB ^ {2} = HB ^ {2} + CH ^ {2}}
Após a simplificação, obtemos
NOB2=VSNO2+VSB2+2×VSH×NOVS{\ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} +2 \ vezes CH \ vezes AC}Uma demonstração semelhante pode ser feita para o ângulo agudo.
Demonstração de Al-Kashi
Em seu livro Key to Arithmetic em 1429, Al-Kashi generaliza o teorema de Pitágoras e introduz a trigonometria na igualdade.
Também para ele, esta propriedade está ligada a áreas. Assim, em um triângulo acutangled ABC , ele lidera por A , B e C as 3 alturas do triângulo, que recortam retângulos nos quadrados com base em CB , CA e AB .
Na figura ao lado, provamos a igualdade das áreas dos retângulos verdes provando a igualdade das áreas dos triângulos
-
JAE e JAB deslizando um vértice paralelo a uma base;
-
JAB e CAM por rotação de ângulo reto;
-
CAM e FAM deslizando um vértice paralelo a uma base.
Fazemos o mesmo para os retângulos vermelhos.
Já os retângulos azuis, cujos lados têm comprimento CL (= CA ) e CE (= CB cos C ), para um, e CI (= CB ) e CD (= CA cos C ) para o outro, têm a mesma área igual a CA × CB × cos C .
Deduzimos pela soma
VSNO2+VSB2=NOB2+2VSNO×VSB×porqueVS{\ displaystyle CA ^ {2} + CB ^ {2} = AB ^ {2} + 2CA \ times CB \ times \ cos C}
Uma demonstração semelhante é possível para um triângulo obtuso operando por subtração de áreas.
Por uma divisão de áreas
Uma série de teoremas de demonstrações envolvendo um cálculo de áreas . Deve-se notar que
-
a 2 , b 2 e c 2 são as áreas dos quadrados com os respectivos lados a , b e c ;
-
ab | cos γ | é a de um paralelogramo de lados um e b formando um ângulo π / 2 - γ , a alteração no sinal de cos y quando o ângulo γ torna obtuso fazer um estudo de caso obrigatório.
A Figura 6a (oposta) corta um heptágono de duas maneiras diferentes para demonstrar o teorema de Al-Kashi no caso de um ângulo agudo. Caixas de som:
- em rosa, as áreas a 2 , b 2 , à esquerda, e as áreas ab cos γ e c 2 na direita;
- em azul, o triângulo ABC, tanto à direita como à esquerda;
- em cinza, alguns triângulos adicionais, idênticos ao triângulo ABC e com o mesmo número nos dois recortes.
A igualdade das áreas à direita e à esquerda dá
no2+b2=vs2+2nobporqueγ{\ displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} + 2ab \ cos \ gamma}.
A Figura 6b (oposta) corta um hexágono de duas maneiras diferentes para demonstrar o teorema de Al-Kashi no caso de um ângulo obtuso. A figura mostra
- em rosa, as áreas a 2 , b 2 e –2 ab cos γ à esquerda e a área c 2 à direita;
- em azul, duas vezes o triângulo ABC, à direita e à esquerda.
A igualdade das áreas à direita e à esquerda dá
no2+b2-2nobporqueγ=vs2{\ displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma = c ^ {2}}.
Uma demonstração rigorosa exigiria provar que as duas divisões são de fato idênticas, o que usa principalmente os casos de igualdade de triângulos .
Pelo teorema de Pitágoras
A Figura 7 (ao lado) mostra como proceder para demonstrar a lei dos cossenos no caso de um triângulo com ângulos agudos usando o teorema de Pitágoras em um subtriangulo reto formado tomando o pé da altura. Apenas a última etapa não é indicada na figura: o teorema de Pitágoras se aplica ao triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado c :
vs2=(b-noporqueγ)2+(nopecadoγ)2=b2-2nobporqueγ+no2porque2γ+no2pecado2γ.{\ displaystyle c ^ {2} = (ba \ cos \ gamma) ^ {2} + (a \ sin \ gamma) ^ {2} = b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma + a ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma.}Usando a identidade notável
porque2γ+pecado2γ=1,{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ gamma + \ sin ^ {2} \ gamma = 1,}obtemos o resultado esperado, após simplificação:
vs2=b2+no2-2nobporqueγ.{\ displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + a ^ {2} -2ab \ cos \ gamma.}O método é em todos os pontos semelhante para ângulos obtusos e leva a um resultado idêntico.
Usando o poder de um ponto em relação a um círculo
Consideramos o círculo com centro B e raio [ BC ] (cf. figura ao lado). É intersecta a linha ( AC ) em C e K . A potência do ponto A em relação ao referido círculo é:
NOB2-BVS2=NOVS¯⋅NOK¯=NOVS¯⋅(NOVS¯+VSK¯){\ displaystyle \ mathrm {AB} ^ {2} - \ mathrm {BC} ^ {2} = {\ overline {\ mathrm {AC}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {AK}}} = {\ overline {\ mathrm {AC}}} \ cdot ({\ overline {\ mathrm {AC}}} + {\ overline {\ mathrm {CK}}})}de onde
vs2-no2=b(b-2no porque γ){\ displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b \, (b-2a \ \ cos \ \ gamma)}.
Ao contrário dos anteriores, para esta demonstração não é necessário recorrer a um estudo de caso. De fato, as medidas algébricas tornam possível tratar um ângulo agudo ( CK <0) e um ângulo obtuso ( CK > 0) da mesma maneira.
Encontramos traços do uso da potência de um ponto em relação a um círculo para determinar todos os ângulos de um triângulo cujos comprimentos são conhecidos, na obra de Nicolau Copérnico , Revoluções das esferas celestes . Ele então apresenta dois algoritmos, um usando o teorema de Pitágoras generalizado presente na obra de Euclides, o outro usando a potência de um ponto em relação a um círculo.
Assim, em uma figura semelhante ao contrário, ele indica que, uma e c sendo conhecida, a potência de ponto A em relação ao círculo desenhado é conhecido
na linguagem matemática atual, é
c 2 - a 2
Ele deduz que, como b é conhecido, AK é conhecido.
Na verdade, portanto
NOK×b=vs2-no2{\ displaystyle AK \ times b = c ^ {2} -a ^ {2}}NOK=vs2-no2b.{\ displaystyle AK = {\ frac {c ^ {2} -a ^ {2}} {b}}.}
Visto que AK é conhecido, então CK é conhecido.
Na verdade, na figura ao lado,
VSK=NOK-b=vs2-no2-b2b.{\ displaystyle CK = AK-b = {\ frac {c ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {b}}.}
Por fim, ele aponta que CK sendo conhecido, o ângulo KCB é conhecido.
De fato,
porque(KVSB)=VSK2no=vs2-no2-b22nob.{\ displaystyle \ cos (KCB) = {\ frac {CK} {2a}} = {\ frac {c ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2ab}}.}
E como o ângulo KCB é conhecido, o ângulo ACB também o é .
Assim, encontramos a regra do cosseno:
porque(γ)=no2+b2-vs22nob{\ displaystyle \ cos (\ gamma) = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}}
Não tratando de medidas algébricas, Nicolas Copérnico apresenta dois cenários para o ângulo obtuso e o ângulo agudo, trabalha sobre um círculo cujo raio corresponde ao lado menor, e não apresenta uma fórmula, mas um algoritmo de cálculo. Um uso análogo da potência de um ponto em relação a um círculo para encontrar a regra do cosseno é feito por Pitiscus .
Usando o produto escalar
Usando o cálculo vetorial , mais precisamente o produto escalar , é possível encontrar a lei dos cossenos em algumas linhas:
vs2=‖NOB→‖2=‖VSB→-VSNO→‖2=‖VSB→‖2-2⋅VSB→⋅VSNO→+‖VSNO→‖2=VSB2-2⋅|VSB|⋅|VSNO|porqueNOVSB^+VSNO2=no2+b2-2nobporqueγ.{\ displaystyle {\ begin {alinhados} c ^ {2} & = \ lVert {\ overrightarrow {AB}} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} - {\ overrightarrow {CA }} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} \ lVert ^ {2} -2 \ cdot {\ overrightarrow {CB}} \ cdot {\ overrightarrow {CA}} + \ lVert {\ overrightarrow {CA}} \ lVert ^ {2} \\ & = CB ^ {2} -2 \ cdot \ left | CB \ right | \ cdot \ left | CA \ right | \ cos {\ widehat {ACB} } + \ mathrm {CA} ^ {2} \\ & = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma \ ,. \ end {alinhado}}}
Em geometria não euclidiana
Para qualquer superfície não euclidiana de curvatura K , definimos o raio de curvatura ρ por:
ρ=1/|K|,{\ displaystyle \ rho = 1 / {\ sqrt {| K |}},}então as dimensões reduzidas um , b e c do triângulo por:
no=BVS/ρ,b=NOVS/ρ,vs=NOB/ρ.{\ displaystyle a = BC / \ rho, \ quad b = AC / \ rho, \ quad c = AB / \ rho.}
O desenvolvimento da trigonometria esférica no mundo árabe-muçulmano e o trabalho de al-Battani sobre ela levaram Delambre, em sua História da Astronomia da Idade Média, a atribuir a al-Battani, a primeira versão da lei cossenos na trigonometria esférica. No entanto, para Anton von Braunmühl (en) , o trabalho de al-Battani não destaca uma fórmula geral, e temos que esperar por Regiomontanus , que contando com o trabalho de al-Battani, declara e demonstra a lei usando seios da face versados .
Em um triângulo esférico ABC (Fig. 9), as dimensões reduzidas de um , b e c correspondem aos medição angular dos segmentos de arco grandes [ aC ], [ CA ] e [ AB ] e a lei de cosseno está escrito:
porquevs=porquenoporqueb+pecadonopecadobporqueγ.{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma.}
Demonstração
Considere-se um triângulo esférico ABC numa esfera de centro O e de raio 1, de modo que a OA = OB = OC = 1. O vector é o vector tangente em C para o grande círculo que passa através de um e C . Na verdade, ele pertence ao plano OAC e é ortogonal desde o produto escalar . Além disso, é fácil verificar que sua norma é igual a sin ( b ) calculando seu quadrado escalar. Da mesma forma, o vetor é o vetor tangente em C ao grande círculo que passa por B e C , e sua norma é sin ( a ) . O ângulo entre os dois vetores é, portanto, γ . Em seguida, obtemos a lei dos cossenos realizando o produto escalar dos dois vetores, que dá:
ONO→-porque(b)OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} - \ cos (b) {\ overrightarrow {OC}}}OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}}}ONO→⋅OVS→=porque(b){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} \ cdot {\ overrightarrow {OC}} = \ cos (b)}OB→-porque(no)OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OB}} - \ cos (a) {\ overrightarrow {OC}}}γ{\ displaystyle \ gamma}
pecadonopecadobporqueγ=porquevs-porquenoporqueb{\ displaystyle \ sin a \ sin b \ cos \ gamma = \ cos c- \ cos a \ cos b}
Existe uma identidade semelhante que conecta os três ângulos:
porqueγ=-porqueαporqueβ+pecadoαpecadoβporquevs{\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta \, \ cos c}Quando o raio de curvatura tende para o infinito, isto é, quando a , b e c tendem para 0, a lei do cosseno esférico é simplificada para dar a versão euclidiana da mesma lei. Para mostrar isso, usamos os seguintes desenvolvimentos limitados :
pecadono=no+o(no2),{\ displaystyle \, \ sin a = a + o (a ^ {2}),}
porqueno=1-no2/2+o(no2).{\ displaystyle \, \ cos a = 1-a ^ {2} / 2 + o (a ^ {2}).}
e identificamos os coeficientes de segunda ordem na relação sen a sen b cos γ = cos c - cos a cos b , que dá:
nobporqueγ=-vs22+no22+b22{\ displaystyle ab \ cos \ gamma = - {\ frac {c ^ {2}} {2}} + {\ frac {a ^ {2}} {2}} + {\ frac {b ^ {2}} {2}}}
Para um triângulo ABC em uma pseudosfera , a lei do cosseno é escrita
coshvs=coshnocoshb-sinhnosinhbporqueγ{\ displaystyle \ cosh c = \ cosh a \, \ cosh b- \ sinh a \, \ sinh b \, \ cos \ gamma}.
Quando o raio de curvatura se torna muito grande em comparação com as dimensões do triângulo, encontramos a lei do cosseno euclidiano das expansões limitadas
sinhno=no+O(no3){\ displaystyle \, \ sinh a = a + O (a ^ {3})},
coshno=1+no2/2+O(no3).{\ displaystyle \, \ cosh a = 1 + a ^ {2} / 2 + O (a ^ {3}).}
identificando termos de segunda ordem.
Fórmula geral para uma superfície de curvatura constante
Podemos agrupar as fórmulas do plano, da esfera e da pseudosfera em uma:
porqueR(BVS)=porqueR(NOB)⋅porqueR(NOVS)+1R2pecadoR(NOB)⋅pecadoR(NOVS)⋅porque(BNOVS^){\ displaystyle \ cos _ {R} (BC) = \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ sin _ {R} (AB) \ cdot \ sin _ {R} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}Com eporqueR(x)=eeux/R+e-eux/R2=porque(x/R){\ displaystyle \ cos _ {R} (x) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x / R} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x / R}} {2}} = \ cos (x / R)}pecadoR(x)=eeux/R-e-eux/R2eu/R=R⋅pecado(x/R){\ displaystyle \ sin _ {R} (x) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x / R} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x / R}} {2i / R}} = R \ cdot \ sin (x / R)}
R é um complexo , mais precisamente o raio de curvatura da superfície.
Três casos são possíveis:
R real: estamos em uma esfera de raio
R , a curvatura é constante e igual a
1/R 2 ;
R imaginário puro: estamos em uma pseudoesfera de raio imaginário
R = i R ' (
R' real), a curvatura y é constante e igual a
1/R 2 = -
1/R ' 2 ;
R infinito: estamos em um plano euclidiano, a curvatura é constante e igual a .
limR→∞1R2=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {R ^ {2}}} = 0}Validação em geometria não euclidiana
Nos primeiros dois casos, cos R e sen R são bem definidos no plano complexo para qualquer R diferente de 0, e o resultado é imediato.
Assim, para uma esfera de raio 1:
porque(BVS)=porque(NOB)⋅porque(NOVS)+pecado(NOB)⋅pecado(NOVS)⋅porque(BNOVS^){\ displaystyle \ cos (BC) = \ cos (AB) \ cdot \ cos (AC) + \ sin (AB) \ cdot \ sin (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}.
Da mesma forma, para uma pseudoesfera de raio i :
cosh(BVS)=cosh(NOB)⋅cosh(NOVS)-sinh(NOB)⋅sinh(NOVS)⋅porque(BNOVS^){\ displaystyle \ cosh (BC) = \ cosh (AB) \ cdot \ cosh (AC) - \ sinh (AB) \ cdot \ sinh (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}.
De fato, cosh ( x ) = cos ( x / i) e sinh ( x ) = i sin ( x / i) .
Validação em geometria euclidiana
Para o terceiro caso, o do plano euclidiano, podemos generalizar cos ∞ e sen ∞ passando ao limite:
porque∞(x)=limR→∞porqueR(x)=limR→∞porque(x/R)=1{\ displaystyle \ cos _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos (x / R ) = 1}e
pecado∞(x)=limR→∞pecadoR(x)=limR→∞R⋅pecado(x/R)=x{\ displaystyle \ sin _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ sin _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} R \ cdot \ sin ( x / R) = x}.
É menos fácil encontrar a fórmula de Al-Kashi. Na verdade, uma simples transposição equivale a escrever:
porque∞(BVS)=1{\ displaystyle \ cos _ {\ infty} (BC) = 1},
porqueR(NOB)⋅porqueR(NOVS)=1×1=1{\ displaystyle \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) = 1 \ vezes 1 = 1},
pecado∞(NOB)⋅pecado∞(NOVS)⋅porque(BNOVS^)=NOB⋅NOVS⋅porque(BNOVS^){\ displaystyle \ sin _ {\ infty} (AB) \ cdot \ sin _ {\ infty} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})},
e
limR→∞1R2NOB⋅NOVS⋅porque(BNOVS^)=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {R ^ {2}}} AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = 0}.
Para encontrar a fórmula de Al-Kashi , é necessário passar por um desenvolvimento limitado :
porqueR(x)=porque(x/R)=1-12⋅x2R2+o(1R2){\ displaystyle \ cos _ {R} (x) = \ cos (x / R) = 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {R ^ {2 }}} + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg)}}e
pecadoR(x)=R⋅pecado(x/R)=x+o(1R2){\ displaystyle \ sin _ {R} (x) = R \ cdot \ sin (x / R) = x + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg) }}.
Aplicando a fórmula para R finito, obtemos:
1-12⋅BVS2R2+o(1R2){\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {BC ^ {2}} {R ^ {2}}} + o \ left ({\ frac {1} {R ^ { 2}}} \ direita)}
=(1-12⋅NOB2R2+o(1R2))⋅(1-12⋅NOVS2R2+o(1R2))+1R2(NOB+o(1R2))⋅(NOVS+o(1R2))⋅porque(BNOVS^){\ displaystyle = \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) \ cdot \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}} } + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ left (AB + o \ left ( {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) \ cdot \ left (AC + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right ) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}O que dá o seguinte:
1-12⋅BVS2R2=1-12⋅NOB2R2-12⋅NOVS2R2+1R2⋅NOB⋅NOVS⋅porque(BNOVS^)+o(1R2){\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {BC ^ {2}} {R ^ {2}}} = 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}}} + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ { 2}}} {\ bigg)}}Então, simplificando um pouco e multiplicando por –2 R 2 em cada lado:
BVS2=NOB2+NOVS2-2⋅NOB⋅NOVS⋅porque(BNOVS^)+o(1){\ displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2} -2 \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o (1)}Isso dá a fórmula esperada quando R tende para o infinito.
Generalização para o espaço euclidiano
Consideramos um tetraedro A 1 A 2 A 3 A 4 do espaço euclidiano. A Figura 10 ao lado apresenta as notações relativas aos vértices, faces e ângulos do tetraedro:
-
Sk{\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k}}o rosto oposto ao topo ;NOk {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {k} \}
-
sk{\ displaystyle s_ {k}}a superfície de ;Sk {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k} \}
-
Δk{\ displaystyle \ Delta _ {k}}o plano em que está mergulhado;Sk {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k} \}
-
θeuj{\ displaystyle \ theta _ {ij}}o ângulo diedro .(Δeu,Δj){\ displaystyle (\ Delta _ {i}, \ Delta _ {j})}
Então, superfícies e ângulos verificam:
s42=s12+s22+s32-2s1s2porqueθ12-2s1s3porqueθ13-2s2s3porqueθ23.{\ displaystyle s_ {4} ^ {2} = s_ {1} ^ {2} + s_ {2} ^ {2} + s_ {3} ^ {2} -2s_ {1} s_ {2} \ cos \ teta _ {12} -2s_ {1} s_ {3} \ cos \ theta _ {13} -2s_ {2} s_ {3} \ cos \ theta _ {23}. \,}
Notas e referências
-
A “chamada fórmula de Al Kashi” , vista como uma aplicação do produto escalar, esteve explicitamente presente até 2010 nos primeiros programas S de matemática da educação francesa (ver BO de 31 de agosto de 2000 ). Só aparece implicitamente no programa de 2010 , entre as “aplicações do produto escalar: cálculos de ângulos e comprimentos” : cf. por exemplo J.-D. Picchiottino, D. Girard e A. Meyer, Maths 1 re S , Hatier ,2013( leia online ) , p. 323.
-
Pascal Honvault, Uma abordagem possível à geometria plana , Publibook ,2004( leia online ) , p. 41.
-
" Pitágoras e seu teorema - 3.2. Recíproco ” , no IUT online .
-
As obras de Euclides, trad. F. Peyrard, Paris (1819), reed. Blanchard (1993). Para outras edições, consulte a bibliografia do artigo sobre Elementos .
-
Youssef Guergour, " O rei de Zaragoza Al-Mutaman Ibn Hud e o teorema de Pitágoras: suas fontes e suas extensões ", LLULL , vol. 28,2005, p. 415-434 ( ISSN 0210-8615 , ler online )( p. 432 ).
-
Denis Henrion (trad.), Os quinze livros dos elementos geométricos de Euclides , 1632, p. 99-104 .
-
De acordo com Guergour 2005 , a prova pode ser encontrada em KASHI (al) (1967): Miftam al-misab [Chave para a Aritmética], al-Damardache, AS & al-Manfi al-Shikh, MM (Edit.), Le Cairo, Dar al-Kitab al-cArabi li at-tibaqa wa an-Nashr, p. 130-138 .
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Veja isso.
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Por exemplo, consulte (em) Roger B. Nelsen Provas sem palavras II: Mais exercícios de pensamento visual , MAA ,2000, p. 9, e mais geralmente o artigo " Prova sem palavras ".
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Gellert et al. 1980 , c. 11-2, pág. 265 .
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(La) N. Copernicus, De revolutionibus orbium coelestium , Livro I, cap. XII, § VII, p. 20 e p. 21 , respectivamente.
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(em) David Eugene Smith , A Source Book in Mathematics , vol. 1 ( ler online ) , p. 435.
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Op. Cit. , p. 17-20 , visualização no Google Livros .
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(de) Anton von Braunmühl , Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie ,1900( leia online ) , p. 53, nota 1.
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von Braunmühl 1900 , p. 131 e seguintes .
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(em) Tony Phillips, " The True History of the Law of cosines " na Stony Brook University ,2006.
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Ver o artigo " Trigonometria esférica ", e uma demonstração diferente do artigo, por exemplo, o "curso" de cartografia de David Madore .
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Georges Dostor, Elementos da teoria dos determinantes: com aplicação à álgebra, trigonometria e geometria analítica no plano e no espaço, para o uso de aulas especiais de matemática , Paris, Gauthier-Villars ,1877, 352 p. ( leia online ) , pp. 251-252
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(em) JR Lee, " The Law of cosines in a Tetrahedron " , J. Korea Soc. Matemática. Ed. Ser. B: Pure Appl. Matemática. , vol. 4,1997, p. 1-6Citado por (in) Eric W. Weisstein , " Law of cosines " em MathWorld .
Veja também
Artigos relacionados
Teorema de Ptolomeu
Link externo
(pt) A. Bogomolny, " The Law of Cosines (Cosine Rule) " , em Cut The Knot
Bibliografia
- N. Efimov, geometria superior , Moscou, edições Mir , 1981
- W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich e H. Kästner ( traduzido do alemão por um coletivo, sob a direção de Jacques-Louis Lions ), Petite encyclopedia of mathematics [“ Kleine Enzyklopädie der Mathematik ”], Paris, K. Pagoulatos / Didier ,1980, 896 p. ( ISBN 978-2-278-03526-7 )
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Antoine Arnauld , Novos elementos de geometria , Paris, Charles Savreux, 1667 , p. 295-296 (sexto teorema)
- A. Amiot, Elementos de geometria , Paris, Delagrave , 14 th ed., 1870 , p. 109-111
- Paul-Louis Cirodde, aulas de geometria , Paris, Hachette , 3 e ed., 1858 , p. 111-112 (Teorema XI)
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