A trigonometria (do grego τρίγωνος / trígonos , "triangular" e μέτρον / Metron , "medida") é um ramo da matemática que lida com relações entre distâncias e ângulos em triângulos e funções trigonométricas como seno , cosseno , tangente .
As origens da trigonometria podem ser rastreadas até as civilizações do antigo Egito , Mesopotâmia e Vale do Indo, há mais de 4.000 anos. Parece que os babilônios baseavam a trigonometria em um sistema numérico de base 60.
Diz-se que o comprimido paleo-babilônico Plimpton 322 ( ca -1800 ) apresenta os rudimentos da trigonometria.
Astrônomos gregosO astrônomo e matemático grego Hiparco de Nicéia ( -190 ; -120 ) construiu as primeiras tabelas trigonométricas na forma de tabelas de cordas: elas correspondiam a cada valor do ângulo no centro (com uma divisão do círculo em 360 °) , o comprimento da corda interceptada no círculo, para um determinado raio fixo. Esse cálculo corresponde ao dobro do seno da metade do ângulo e, portanto, dá, de certa forma, o que hoje chamamos de tabela de senos. Porém, as tábuas de Hiparco não tendo chegado até nós, são por nós conhecidas apenas pelo grego Ptolomeu , que as publicou, por volta do ano 150, com seu modo de construção em seu Almagesto . Assim, eles foram redescobertos no final da Idade Média por Georg von Purbach e seu aluno Regiomontanus . É atribuído ao desenvolvimento de Menelau de Alexandria (final do século I ) na trigonometria esférica , pelo menos parcialmente presente no Almagesto e há muito atribuído ao próprio Ptolomeu.
Matemáticos indianosPor volta do ano 400, foi elaborado um tratado indiano de astronomia, o Surya Siddhanta , inspirado na astronomia grega, mas que trouxe uma inovação em relação à trigonometria. Enquanto os matemáticos gregos associavam a medida de uma corda a um arco, o trabalho prefere associar a meia corda a um determinado arco. Isso dará origem ao conceito de seios da face. Será o mesmo mais tarde com os matemáticos árabes. O matemático indiano Âryabhata , em 499, apresenta uma tabela de senos e cossenos. Ele usa zya para seno, kotizya para cosseno e otkram zya para o inverso do seno. Ele também introduz o derramamento do seio da face .
Outro matemático indiano, Brahmagupta , usa interpolação numérica em 628 para calcular o valor dos senos até a segunda ordem.
Ascensão no mundo muçulmanoÉ no mundo muçulmano que a trigonometria assume o status de uma disciplina completa e se destaca da astronomia.
Abu l-Wafa ( 940 - 998 ) simplifica o Almagesto de Ptolomeu substituindo o uso do teorema de Ptolomeu (que ele chama de método do quadrilátero e das seis quantidades ) por fórmulas trigonométricas comparáveis às nossas (seno da soma de dois arcos, por exemplo). Omar Khayyam ( 1048 - 1131 ) combina o uso de trigonometria e teoria da aproximação para fornecer métodos de resolução de equações algébricas pela geometria. Métodos detalhados de construção de tabelas de seno e cosseno para todos os ângulos foram escritos pelo matemático Bhāskara II em 1150 . Ele também desenvolve trigonometria esférica . No XIII th século , Nasir al-Din Tusi , seguindo Bhāskara, é, provavelmente, um dos primeiros a trigonometria mimo como uma disciplina separada da matemática. Finalmente, no XIV th século , Al-Kashi cria tabelas de funções trigonométricas em seus estudos de astronomia.
Na Europa: redescoberta de PtolomeuEm 1220, na Europa, Fibonacci propôs uma tabela trigonométrica em sua Practica Geometriae , mas que infelizmente apresentava vários erros.
A implementação de medidas específicas trigonométricas desenvolve para o meio da XV th século, com a tradução para o latim de obras de Ptolomeu. Os pioneiros neste campo são Georg von Peuerbach e especialmente seu aluno Regiomontanus . Este último adota a noção de seno usada por matemáticos indianos e árabes. Ele traça uma tabela sinusoidal com um raio de 600.000 unidades, depois 10.000.000 unidades e também fornece uma tabela tangente. Após o início do XVI th tratados de século Oronce Belas , Pedro Nunes e Joachim Rheticus . Este último elabora uma tabela trigonométrica para um raio de 10 15 unidades e com incremento de 10 segundos de arco. O matemático silesiano Bartholomäus Pitiscus publicou um notável trabalho sobre trigonometria em 1595 , cujo título ( Trigonometria ) deu o nome à disciplina. Foi o matemático flamengo Adrien Romain quem introduziu a notação moderna .
O uso de raios com potência de 10 como medida e o desenvolvimento do cálculo decimal no final do século XVI , com François Viète e Simon Stevin , levaram gradativamente a um raio unitário e a ser introduzido como um número e não mais como uma proporção de dois comprimentos.
As aplicações da trigonometria são extremamente numerosas. Em particular, é usado na astronomia e na navegação, em particular com a técnica de triangulação . Os outros campos em que a trigonometria está envolvida são (lista não exaustiva): física , eletricidade , eletrônica , mecânica , acústica , ótica , estatística , economia , biologia , química , medicina , meteorologia , geodésia , geografia , cartografia , criptografia , ciência da computação, etc.
Uma definição possível de funções trigonométricas é usar triângulos retângulos, ou seja, triângulos que possuem um ângulo reto (90 graus ou π / 2 radianos ).
E como a soma dos ângulos de um triângulo é 180 ° (ou π radianos), o maior ângulo nesse triângulo é o ângulo reto. O lado mais longo de um triângulo retângulo, ou seja, o lado oposto ao ângulo maior (o ângulo reto), é chamado de hipotenusa .
Na figura à direita, o ângulo forma o ângulo reto. O lado [ AB ] é a hipotenusa.
As funções trigonométricas são definidas da seguinte forma, observando o ângulo :
Estas são as funções trigonométricas mais importantes. Eles foram definidos para ângulos entre 0 ° e 90 ° (ou seja, entre 0 e π / 2 radianos). Usando o círculo unitário , podemos estender essa definição a qualquer ângulo, conforme discutido no artigo Funções trigonométricas .
Seja qual for o real , temos (de acordo com o teorema de Pitágoras ):
As duas fórmulas principais são as fórmulas de adição para cosseno e seno:
; .Deduzimos isso pela tangente:
,e a diferença de fórmulas (substituindo B por -B , sabendo que a função cosseno é par e as funções seno e tangente são ímpares ).
A partir das fórmulas de adição e diferença ( veja acima ), deduzimos:
Desenvolvimento , em particular , , em particular , ; Factoring , , .Essas fórmulas estão envolvidas em muitos problemas. Perguntando :
,temos :
.Os resultados apresentados aqui e nas seções seguintes referem-se a medições em geometria euclidiana . O estudo das mesmas questões em geometria esférica é feito no artigo Trigonometria esférica , e em geometria hiperbólica no artigo Função hiperbólica .
Para um triângulo ABC com lados a = BC, b = AC e c = AB, temos ( lei dos cossenos ):
.Esta fórmula tem particular importância na triangulação e foi originalmente usada na astronomia. Um tem que Ghiyath matemático al-Kashi , escola de Samarkand , com o teorema numa forma utilizável para triangulação durante a XV ª século.
Nota: quando ou , temos , ou seja, o teorema de Pitágoras.
Resolver um triângulo é, dado um lado e dois ângulos adjacentes, ou um ângulo e dois lados adjacentes, ou no máximo dois lados b e c e seu ângulo B , encontrar o triângulo correspondente, ou seja, digamos a , b , c , A , B e C (e marque uma das regras não aplicadas no processo).
Resolvemos esse tipo de problema usando as fórmulas anteriores (mais a fórmula de projeção óbvia a = b · cos C + c · cos B ).
Por exemplo :
No eixo Ox , OB = 1 e OC = 1,5. OBM = 60 ° e OCM = 30 °. Encontre M: Faça o desenho; M é encontrado em ( x = 0,75; y = 0,45) aproximadamente. Razão: no triângulo BMC, B = 120 ° e C = 30 ° portanto M = 30 °; portanto, o triângulo é isósceles em B e BM ' = 0,5. Então . Seja H a projeção de M no eixo: HM = ye o ângulo HMB vale 30 °. e . A distância , o azimute de M é 30 ° e o ângulo OMB é 90 °.É raro que seja tão simples na prática.
Normalmente, quatro a seis dígitos significativos são solicitados. As calculadoras reduziram bastante o trabalho entediante de “redução de triângulos”. Lembre-se que a medida do grau do meridiano arco Paris de terra ocorreu desta maneira entre Malvoisine e Montlhéry por Abbe Picard , no meio do XVII th século.
A área A do triângulo é determinada usando o comprimento de dois lados e o seno do ângulo que eles formam:
.Dessa igualdade, aplicada a cada vértice do triângulo, podemos deduzir a lei dos senos .
A fórmula anterior, completada pela lei dos cossenos , também permite estabelecer a fórmula de Heron :
,onde a , b e c são os comprimentos de seus lados e p denota o meio perímetro do triângulo:
.John Machin foi o primeiro a calcular π com 100 casas decimais, em 1706, usando sua fórmula . Fórmulas desse tipo têm sido usadas até hoje para calcular um grande número de casas decimais de π .