Geometria euclidiana

A geometria euclidiana começa com os Elementos de Euclides , que é ao mesmo tempo um corpo de conhecimento da geometria da época e uma tentativa de formalizar a matemática desse conhecimento. As noções de reta , plano , comprimento , área estão aí expostas e formam o suporte dos cursos da geometria elementar. A concepção de geometria está intimamente ligada à visão do espaço físico ambiente no sentido clássico do termo.

Desde o trabalho de Euclides , os desenhos geométricos evoluíram ao longo de três eixos principais:

  1. para verificar os atuais critérios de rigor lógico, a definição axiomática sofre profundas modificações, mas o objeto matemático permanece o mesmo;
  2. para não mais se limitar às dimensões dois e três e permitir o desenvolvimento de uma teoria mais poderosa, um modelo algébrico de geometria é considerado. O espaço euclidiano é agora definido como um espaço vetorial ou dimensão real afim finita com um produto escalar  ;
  3. finalmente, a estrutura geométrica euclidiana não é mais a única possível; é estabelecido que existem outras geometrias coerentes.

Mais de 2.000 anos após seu nascimento, o espaço geométrico euclidiano ainda é uma ferramenta eficaz com amplos campos de aplicação. Com exceção das escalas cósmicas e microscópicas, o espaço dos físicos ainda permanece principalmente no domínio da geometria euclidiana.

Seu aspecto matemático é tratado de forma didática no artigo produto escalar . O artigo baseia-se na formalização de um vetor por meio de um biponto, desenvolvido em vetor . Uma abordagem mais avançada, baseada na formalização axiomática do espaço vetorial é desenvolvida no espaço euclidiano .

A abordagem euclidiana da ciência espacial

A geometria euclidiana no sentido dos Elementos lida com o plano e o espaço; muitas vezes é apresentado como uma geometria "da régua e do compasso". Os objetos considerados são os pontos , os segmentos , as linhas , as meias-linhas , com suas propriedades de incidência (a regra ), bem como os círculos (a bússola ). As questões essenciais são o estudo de figuras e medidas.

Ferramentas euclidianas de geometria

A construção de Euclides é baseada em cinco axiomas  :

  1. um segmento da direita pode ser traçado juntando dois pontos separados;
  2. um segmento de linha pode ser estendido indefinidamente em uma linha reta;
  3. dado qualquer segmento de linha reta, um círculo pode ser desenhado tomando este segmento como o raio e uma de suas extremidades como o centro;
  4. todos os ângulos retos são congruentes  ;
  5. se duas linhas se cruzam com uma terceira, de modo que a soma dos ângulos internos de um lado seja estritamente menor do que dois ângulos retos, então essas duas linhas estão necessariamente se cruzando neste lado.

O raciocínio sobre as figuras geométricas relaciona-se às suas intersecções e às suas dimensões: à incidência e à medição . Deste ponto de vista, certas transformações das figuras são úteis; as mais relevantes são as similitudes , ou seja, as transformações que preservam as relações de distâncias. As semelhanças mais simples são as rotações , as simetrias , as translações , que preservam as distâncias, bem como a homotetia . A partir desses poucos objetos básicos, todas as semelhanças podem ser construídas por composição .

A construção de Euclides permite o desenvolvimento das noções de medição de comprimento , área , volume , ângulo . Existem muitas áreas de superfície usuais que podem ser calculadas pelas técnicas dos Elementos . Um método, o método da exaustão, que prefigura a integração , nos permite ir mais longe. Arquimedes ( 287 - 212 aC ), por exemplo, elevou ao quadrado a parábola . Um limite da noção de medida vem do fato de que os números considerados são apenas os números construtíveis (com a regra e com a bússola).

Os dois teoremas fundamentais são o teorema de Pitágoras e o de Tales . Um pouco de análise nos permite ir mais longe com a trigonometria . Este é o primeiro exemplo de construção de uma ponte entre a geometria euclidiana pura e outro ramo da matemática, para enriquecer a gama de ferramentas disponíveis.

Abordagem geométrica para álgebra

A fórmula para a área de um retângulo ou triângulo , o teorema de Tales, bem como o de Pitágoras, todos oferecem relações algébricas entre quantidades que são os lados de um triângulo ou retângulo. Esses diferentes métodos são um dos ingredientes da álgebra nascente, iniciada por Diofanto e desenvolvida pela civilização árabe .

O Tratado de Al-Khwarizmi , um matemático persa do VIII th  século , intitulado O Compendious em Cálculo Livro de Conclusão e balanceamento objetivos resolver um equação quadrática qualquer. Seu método se baseia no que hoje chamamos de identidades notáveis , que com ele são demonstradas por meio da geometria euclidiana.

Essa geometrização da álgebra também dá frutos na aritmética , a ciência dos números. A primeira prova que mostra a existência de quantidades irracionais é provavelmente geométrica. Certos cálculos, como o valor do n- ésimo número triangular ou a soma dos primeiros n cubos de inteiros, são executados geometricamente.

Sucessos e limites

Um dos objetivos da geometria euclidiana é a construção de réguas e figuras de compasso. O estudo do triângulo está dentro deste domínio. A riqueza dos resultados obtidos é ilustrada pela lista de elementos notáveis ​​de um triângulo . Uma família de figuras emblemáticas é a de polígonos regulares. No entanto, nem todos são construtíveis. As técnicas de construção aplicam-se não apenas à planta, mas também ao espaço, conforme demonstrado pelo estudo dos poliedros .

Uma especificidade da geometria euclidiana reside no fato de que inicialmente usa pouco ou nenhum teorema complexo e poderoso de álgebra ou análise. É uma matemática autônoma e independente, onde as provas vêm principalmente do raciocínio puramente geométrico. No entanto, para casos complexos, como a construção da figura ao lado, outras ferramentas, por exemplo polinômios , são essenciais (cf. teorema de Gauss-Wantzel ). A resolução dos três grandes problemas da antiguidade, nomeadamente a construtibilidade ou não da quadratura do círculo , a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo , utilizando apenas a régua e o compasso, não poderia, além disso, ser possível apenas com a contribuição de outro ramo da matemática: aritmética , algébrica ou analítica .

A geometria euclidiana tem muitas aplicações. O Renascimento fez uso extensivo das técnicas dos Elementos . A arquitetura , a pintura através da perspectiva repleta de exemplos deste tipo. Outro caso de uso é a arte do entrelaçamento, de Leonardo da Vinci ( 1452 - 1519 ). Essa matemática também é usada para medição, tanto para agrimensores quanto para fins científicos. Eles permitem que Eratóstenes ( 276 - 194 aC ) para medir a circunferência da Terra. As técnicas utilizadas, conhecidas como triangulação e baseadas na trigonometria , permitem aos marinheiros saber a sua posição.

Aplicação e novas ferramentas: espaço euclidiano e físico

A partir do  século XVI, a matemática retrocede cada vez mais da geometria do triângulo. A geometria euclidiana mantém sua utilidade porque modela apropriadamente o mundo físico circundante.

No entanto, a abordagem puramente antiga se torna muito restritiva. Não fornece uma estrutura suficiente para o desenvolvimento da matemática. Para estudar as cônicas, Blaise Pascal ( 1623 - 1662 ) usa uma nova ferramenta: o sistema de coordenadas . Acontece que é precioso no nascimento do cálculo infinitesimal . Com o tempo, álgebra e análise tornam-se predominantes: novas técnicas, distantes das herdadas de Euclides, são desenvolvidas. No que se refere à modelagem do espaço físico, essas novidades são utilizadas dentro do quadro de uma geometria pouco formalizada, porém com grande sucesso. Teorias datam de antes do XX °  século são de conteúdo para este quadro. Mesmo agora, e em um contexto muito geral, a geometria usual da física permanece euclidiana. Permite resultados espetaculares, como a mecânica newtoniana .

Só em 1915 é que uma outra geometria, a da relatividade geral , explica melhor um fenômeno, a do avanço do periélio de Mercúrio . A geometria euclidiana agora permanece válida com três exceções:

Se a modelagem da geometria do espaço muitas vezes permanece a mesma da Antiguidade (com as exceções já mencionadas), a formalização muda radicalmente.

Abordagem algébrica da geometria

A concepção de espaço pelos matemáticos não é historicamente fixa; as evoluções são feitas por vários motivos: a necessidade de fundamentar melhor a teoria geométrica, por um lado, preenchendo certos déficits de rigor do texto de Euclides, por outro lado, vinculando a teoria a outros ramos da matemática; mas também a necessidade de poder usar o grande corpus de resultados geométricos em espaços diferentes do nosso mundo físico ou do plano usual.

Esses dois últimos objetivos são de fato alcançados graças a um ramo particular da matemática: a álgebra linear .

Motivação: mecânica sólida

A mecânica dos sólidos traz um novo ponto de vista sobre a geometria euclidiana. Se nosso espaço descreve a posição do centro de gravidade, o sólido pode girar em torno desse centro. Ele ainda tem três graus de liberdade adicionais. É necessário considerar um espaço de dimensão seis, para dar conta da posição exata do sólido.

O mesmo se aplica à velocidade. É descrito pelo movimento do centro de gravidade, convencionalmente representado por um vetor do espaço físico e por uma rotação, que pode ser modelado por um vetor (vetor perpendicular ao plano de rotação e cujo comprimento é proporcional à velocidade angular) . Matematicamente, o campo de velocidade é considerado equiprojetivo e é representado por um torsor . O espaço a que pertence ainda tem dimensão seis.

Esta abordagem que consiste em definir um espaço abstrato, que não representa mais diretamente o nosso universo, mas um espaço específico para o problema estudado, é fecundo. Torna possível usar as ferramentas da geometria euclidiana em vários contextos.

A estática mecânica outro exemplo, um objeto é considerado como a montagem de um conjunto de sólidos submetidos a tensões que se ligam entre eles. O objeto é o estudo da estabilidade de um corpo, como uma ponte ou um arranha-céu. A dimensão é igual a seis vezes o número de sólidos que constituem o objeto. Esta abordagem é especialmente desenvolvido durante o XX th  século. Na verdade, o tamanho está crescendo rapidamente e o poder de computação acessível apenas com a chegada dos computadores é necessário para tornar essas técnicas operacionais.

Esses métodos, em sua forma mais geral, conduzem à mecânica analítica , cujas aplicações são inúmeras e que constituem o arcabouço geral da física teórica .

Motivação: estatísticas

Certas técnicas para analisar um furo de poço usam as propriedades da geometria euclidiana. Isso permite, graças à noção de distância, uma modelagem relevante e, graças às ferramentas da álgebra linear , um algoritmo para cálculos eficazes.

Se os critérios, representados pelas perguntas de uma pesquisa, podem ser reduzidos a quantidades mensuráveis, então cada respondente aparece como um ponto em um espaço cuja dimensão é igual ao número de critérios. Esta geometria é essencial nas estatísticas:

O processo de análise de dados por meio da geometria euclidiana é usado em muitas ciências humanas . Permite a análise de comportamentos mesmo quando não seguem leis rígidas.

Modelo linear de geometria: espaços euclidianos

A noção de espaço vetorial fornece uma primeira estrutura puramente algébrica na qual a linguagem geométrica pode ser expressa. A noção de coordenada torna-se central, e o plano, por exemplo, é parcialmente modelado por um espaço vetorial bidimensional, que é essencialmente identificado com o conjunto de todos os pares de coordenadas ( x 1 , x 2 ), onde x 1 e x 2 são dois números reais; um ponto é então simplesmente um casal assim. A generalização é facilmente feita para o espaço de dimensão 3 considerando tripletos de coordenadas, mas também para espaços de dimensão n . Nesta modelagem, o plano abstrato, conforme descrito pelos axiomas, recebeu uma origem arbitrariamente.

A descrição geométrica dos espaços vetoriais atribui um papel muito particular ao vetor zero: o vetor “0”. Os objetos matemáticos geralmente associados são linhas retas que se encontram em 0 e transformações que deixam o vetor 0. Definimos uma estrutura derivada daquela do espaço vetorial, que leva o nome de espaço afim , e para a qual todos os pontos desempenham papéis idênticos . Em termos pictóricos, esse processo consiste em transferir a situação observada em 0 para todos os outros pontos do espaço. Isso é feito por translação , mais precisamente fazendo com que o espaço vetorial atue sobre si mesmo por translação.

A estrutura do espaço afim torna possível explicar plenamente as propriedades de incidência: por exemplo, em um espaço afim real de dimensão 2, as linhas satisfazem o quinto postulado de Euclides.

No entanto, apenas as propriedades de incidência são modeladas, uma grande parte da geometria euclidiana clássica não é alcançada: ela essencialmente carece de uma noção de medição. Uma ferramenta linear pode preencher essa lacuna; é o produto escalar . Um espaço real afim fornecido com um produto escalar é chamado de espaço euclidiano , todas as noções geométricas clássicas são definidas em tal espaço, e suas propriedades derivadas da álgebra verificam todos os axiomas euclidianos: teoremas geométricos derivados do corpus clássico, relacionados a quaisquer objetos que os satisfaçam axiomas, portanto, tornam-se em teoremas particulares para pontos, linhas, círculos, conforme definidos em um espaço euclidiano.

Finalmente, os espaços afins euclidianos não estão limitados às dimensões 2 ou 3; permitem dar conta dos diversos problemas físicos e estatísticos mencionados acima, e que envolvem um maior número de variáveis, com o uso de uma linguagem geométrica. Muitos teoremas de incidência e medição generalizam quase automaticamente, notavelmente o teorema de Pitágoras .

A passagem para um grau superior de abstração oferece um formalismo mais poderoso, dando acesso a novos teoremas e simplificando as provas; a intuição geométrica usual das dimensões 2 ou 3 às vezes é desafiada por essas dimensões superiores, mas freqüentemente permanece eficaz. Os ganhos são suficientes para que análises sofisticadas sejam geralmente expressas usando o produto escalar.

História da abordagem linear

A noção de espaço vetorial aparece aos poucos. René Descartes ( 1596 - 1650 ) e Pierre de Fermat ( 1601 - 1665 ) usam o princípio das coordenadas como uma ferramenta para resolver problemas geométricos com uma abordagem algébrica . A noção de sistema de coordenadas ortonormal foi usada em 1636 . Bernard Bolzano ( 1781 - 1848 ) desenvolveu um primeiro desenho geométrico onde pontos , linhas e planos são definidos apenas por operações algébricas, ou seja, adição e multiplicação por um número. Esta abordagem torna possível generalizar a geometria para outras dimensões além daquelas de planos e volumes. Arthur Cayley ( 1821 - 1895 ) é um jogador importante na formalização de espaços vetoriais.

Um contemporâneo William Rowan Hamilton ( 1805 - 1865 ) usa um campo diferente daquele dos reais  : o dos números complexos . Ele mostra que essa abordagem é essencial em geometria para a resolução de muitos problemas. Hermann Grassmann finalmente descreve os espaços vetoriais (na verdade, álgebras) em sua generalidade.

Seguindo o trabalho de Gaspard Monge ( 1746 - 1818 ), seu aluno Jean Poncelet ( 1788 - 1867 ) reformou a geometria projetiva . A geometria projetiva, a geometria da perspectiva, também pode ser modelada por álgebra linear: um espaço projetivo é construído usando um espaço vetorial graças a um processo de identificação de pontos de acordo com uma regra de perspectiva. Os espaços projetivos são generalizados para qualquer dimensão. A geometria projetiva é uma geometria não euclidiana, no sentido de que o quinto postulado de Euclides falha nela. A álgebra linear não apenas fornece um modelo para a geometria euclidiana, mas também uma abertura para um mundo maior.

Questionando a geometria de Euclides

A abordagem linear não é um questionamento das concepções euclidianas. Pelo contrário, permite generalizá-los, alargar o seu âmbito e, por sua vez, enriquecê-los. Outro grande movimento histórico questiona a formalização euclidiana.

O quinto postulado

O XIX th  século viu o surgimento de muitas novas geometrias. Seu nascimento resulta de questões sobre o quinto postulado, que Proclo expressa da seguinte forma: Num plano, por um ponto distinto de uma linha reta, há uma e apenas uma linha reta paralela a essa linha . Este postulado, admitido por Euclides, e que a intuição apóia, não deveria ser um teorema? Ou, ao contrário, podemos imaginar geometrias onde ela falharia?

Uma estaca durante o XIX E  século para os matemáticos será para ter sucesso em si destacando a partir de uma intuição física casualmente inférteis, bem como a partir de uma relação inadequada das lições dos antigos, para se atrever a inventar novas concepções geométricas; estes não serão impostos sem dificuldade.

Desde o início do século, Carl Friedrich Gauss questionou esse postulado. Em 1813, ele escreveu: Para a teoria dos paralelos, não somos mais avançados do que Euclides, é uma pena para a matemática . Em 1817, parece que Gauss adquiriu a convicção da existência de geometrias não euclidianas . Em 1832, o matemático János Bolyai escreveu uma dissertação sobre o assunto. A existência de uma geometria não euclidiana não é formalmente demonstrada, mas uma forte presunção é adquirida. O comentário de Gauss é eloqüente: Parabenizá-lo seria me parabenizar . Gauss nunca publicou seus resultados, provavelmente para evitar polêmica. Independentemente, Nikolai Lobachevsky ( 1792 - 1856 ) estava à frente de Bolyai na descrição de uma geometria semelhante no jornal russo Le messager de Kazan em 1829. Duas outras publicações sobre o assunto, no entanto, não tiveram mais impacto sobre os matemáticos do mundo . 'tempo.

Bernhard Riemann ( 1826 - 1866 ) estabelece a existência de outra família de geometrias não euclidianas para seu trabalho de tese sob a orientação de Gauss. O impacto continua fraco, a tese não é publicada até dois anos após sua morte.

As geometrias de Lobachevsky e Bolyai correspondem a estruturas hiperbólicas onde há uma infinidade de paralelos passando pelo mesmo ponto. Isto é ilustrado na figura contra os direitos de 1 , de d 2 e d 3 são três exemplos de paralelo para D que passa através do ponto M . As primeiras três linhas são paralelas a D porque nenhuma delas é secante com D  ; mas, ainda assim, essas três linhas não são paralelas entre si (o paralelismo das linhas não é mais uma propriedade transitiva em uma geometria hiperbólica).

O caso Riemanniano corresponde ao caso elíptico onde não existe paralelo.

A unificação de Klein

A situação ficou confusa, os Elementos não conseguem dar conta de tamanha diversidade. Existem vários espaços geométricos: espaços vetoriais euclidianos, espaços afins euclidianos, espaços projetivos, geometrias elípticas e hiperbólicas, além de alguns casos exóticos como a faixa de Möbius . Cada geometria tem definições diferentes, mas apresentando muitas analogias e levando a uma série de teoremas mais ou menos diferentes de acordo com os autores e as geometrias. O fim da supremacia euclidiana gera uma desordem importante, que dificulta a compreensão da geometria. Um jovem professor de 24 anos, Felix Klein ( 1848 - 1925 ), recém-nomeado professor da Universidade de Erlangen , propôs uma organização para todas essas geometrias em seu discurso inaugural. Este trabalho tem, desta vez, uma vasta repercussão na comunidade científica, a supremacia euclidiana desaparece e a polêmica nascida do questionamento do quinto postulado se extingue. Seu trabalho envolve uma reforma da formalização dos espaços euclidianos. Ele usa o trabalho de James Joseph Sylvester ( 1814 - 1897 ) no que agora são chamados de produtos de ponto . A geometria euclidiana permanece atual ao custo de uma grande reforma de sua construção.

Em seu programa Erlangen, Felix Klein encontra o critério para definir todas as geometrias. Os ganhos esperados estão aí. As geometrias são classificadas, aquelas que aparecem como casos especiais aparecem e os teoremas genéricos podem ser expressos em todo o seu campo de aplicação; em particular, o espaço que verifica a axiomática euclidiana é o limite que separa as famílias de geometrias hiperbólicas de Bolyai e Lobachevsky das geometrias elípticas de Riemann.

Klein define uma geometria euclidiana pelo conjunto de suas isometrias , ou seja, as transformações deixando as distâncias invariantes. Esta abordagem caracteriza perfeitamente esta geometria. As isometrias se beneficiam de uma estrutura geométrica de grupo . No caso euclidiano, essa formalização equivale aos dados de um produto escalar e, se for um tratamento mais abstrato, também é mais geral. Definir uma geometria por um grupo de transformações é um método geralmente eficiente.

Euclides e rigor

A última reforma da geometria euclidiana é a da lógica. A crítica não se refere tanto às demonstrações de Euclides, mas à ausência de fundamentos suficientes para uma prova rigorosa. Não data de ontem: Eudoxus de Cnido ( 408 - 355 av. J. - C ) e Arquimedes ( 287 - 212 av. J. - C ) acrescentam aquele agora chamado axioma de Arquimedes . Christophorus Clavius ( 1538 - 1612 ) observa a ausência de um postulado para estabelecer seu tratado sobre as proporções . Nada garante a existência de segmentos proporcionais, tema central do livro V. Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 - 1716 ) observa que Euclides às vezes usa a intuição geométrica para compensar a ausência de certos postulados, por exemplo em seu método de construção de um triângulo equilátero . Ele constrói dois círculos de forma que o centro de cada um seja um ponto do outro. Ele admite sem provas que os dois círculos têm uma interseção. Gauss nota que a relação entre dois pontos de um círculo está muito mal formalizada e que não se generaliza para a esfera.


O fim do XIX th  serra século não só a crescente crítica desta natureza, mas também a formulação de postulados desaparecidas. Georg Cantor ( 1845 - 1918 ) e Richard Dedekind ( 1831 - 1916 ) mostram a necessidade de um postulado de continuidade e formalizam-no. Um exemplo da falta é dado pelo teorema de Pitágoras, do qual a figura à esquerda ilustra uma prova. Os triângulos IBC e AEC têm a mesma área porque um corresponde à rotação de um quarto de volta do outro. Essa afirmação não pode ser demonstrada no quadro axiomático escolhido por Euclides. Conforme ilustrado na figura à direita, a rotação de um oitavo de volta da diagonal de um quadrado do lado 1 não tem, a priori, seu final A ' se o conjunto de números escolhido não for o de números reais, mas racional pessoas. Em Euclides nenhuma indicação é dada sobre a natureza dos números usados, nem qualquer informação permite estabelecer que uma rotação ou simetria preserva distâncias .

Resposta de Hilbert

Na aurora do XX th  século, o conhecimento das deficiências da formalização Euclidiana, e os elementos de várias soluções são suficientemente conhecidos para permitir a construção rigorosa. Os matemáticos David Hilbert ( 1862 - 1943 ) e Moritz Pasch ( 1843 - 1930 ) estão na origem deste trabalho.

A construção deve ser suficiente para demonstrar os teoremas da geometria sem apelar para a intuição , a aplicação de regras lógicas é o único método autorizado. Pasch coloca desta forma:

“Vamos expor explicitamente os conceitos primitivos por meio dos quais nos propomos a definir logicamente os outros. Declararemos explicitamente as proposições fundamentais (postulados) graças às quais nos propomos a provar logicamente as outras proposições (teoremas). Essas proposições fundamentais devem aparecer como relações lógicas puras entre os conceitos primitivos, e isso independentemente do significado que se dá a esses conceitos primitivos. "

Se uma construção é forte o suficiente para não exigir mais a entrada da intuição, o vocabulário escolhido não importa. Hilbert coloca desta forma:

“Devemos ser capazes de falar o tempo todo, ao invés de apontar, direto e plano, mesa, cadeira e caneca. "

Hilbert publica um artigo sobre o assunto. Em sua introdução, ele estabelece como objetivo a construção de um sistema de axiomas modelando o plano e respondendo a uma tripla restrição: ser simples , completo e independente . Se a palavra completa não é definida, Hilbert indica, no entanto, algumas palavras depois, que esse sistema deve permitir a demonstração dos principais teoremas da geometria euclidiana. O sistema de axiomas é simples no sentido de que é fácil saber quais axiomas são necessários para o estabelecimento dos teoremas. É independente no sentido de que a remoção de um postulado permite a existência de novas geometrias incompatíveis com propriedades euclidianas.

Primeiro, Hilbert constrói um sistema contendo cinco grupos de axiomas, o último dos quais diz respeito à continuidade. Este último pode ou não ser enriquecido com um axioma equivalente à completude . Em seguida, mostra a compatibilidade dos grupos de axiomas. Este termo significa que existe pelo menos uma geometria que satisfaz todos os axiomas. Hilbert constrói um universo algébrico, correspondendo a um plano afim sobre um determinado campo numérico. Ele contém números racionais e qualquer número na forma 1 + ω 2 tem uma raiz quadrada . Este universo satisfaz todos os grupos de axiomas propostos, o que seria impossível se os postulados não fossem compatíveis.

A independência é demonstrada pela construção de geometrias baseadas apenas em parte da base axiomática. Eles então diferem da geometria euclidiana. Hilbert demonstra rigorosamente a existência de geometrias que ele qualifica como não euclidianas , não arquimedianas e não pascalianas . Se a independência de cada grupo de axiomas for provada, cada um dos grupos contém vários postulados (com exceção de V th que contém apenas um). Issai Schur ( 1875 - 1941 ) e Eliakim Hastings Moore ( 1862 - 1932 ) demonstraram independentemente que um dos axiomas era redundante.

Em direção a outras geometrias

O conceito de geometria agora é aplicado a um grande conjunto de espaços. Se o questionamento do quinto postulado é o exemplo histórico que dá conteúdo à noção de geometria não euclidiana, uma análise mais precisa mostra a existência de uma quantidade de outros casos não considerados por Euclides, mas respeitando o quinto postulado.

No caso dos espaços vetoriais, o corpo dos números pode ser modificado, a distância às vezes é escolhida para ter um novo grupo de isometrias, o número de dimensões pode se tornar infinito.

Existem também muitos casos em que o espaço não é um espaço vetorial; Klein formaliza geometrias não orientáveis; Georg Cantor ( 1845 - 1918 ) descobre um todo triádico cuja dimensão não é o todo e que agora se classifica na categoria das geometrias fractais . A topologia abre a porta para a construção de muitos outros casos.

Por isso, o termo geometria não-euclidiana cai gradualmente em desuso durante o XX th  século. Agora se tornou costume descrever uma geometria pelas propriedades que possui e não por uma, que se tornou muito específica e que não teria, a saber, seu caráter euclidiano.

Os exemplos a seguir estão entre os mais usados.

Dimensão infinita

Os espaços de função de valor real têm uma estrutura de espaço vetorial. É proveitoso estudá-los com ferramentas geométricas. É possível associar uma distância resultante de um produto escalar por exemplo se as funções são quadradas integráveis . Este produto escalar é definido da seguinte forma:

Nesse espaço, o teorema de Pitágoras generaliza e permite que Joseph Fourier ( 1768 - 1830 ) resolva a equação do calor .

Essa abordagem de usar as ferramentas da geometria para resolver problemas analíticos agora é chamada de análise funcional . Múltiplas distâncias diferentes são definidas nesses espaços, gerando geometrias distintas. De acordo com as propriedades mais ou menos fortes que possuem, eles são chamados de espaço de Hilbert , espaço de Banach , espaço pré-Hilbert ou espaço vetorial normado . O espaço de Hilbert é a generalização mais natural das geometrias euclidianas.

Espaço hermitiano

Os números reais sofrem de fraqueza, o corpo que eles formam não é fechado algebricamente . Isso significa que existem polinômios não constantes que não possuem uma raiz. Essa fraqueza complica a análise de mapas lineares de um espaço vetorial em si. O artigo sobre autovalores explica essa dificuldade. Uma solução freqüentemente usada é generalizar o campo dos números e passar para os complexos . Este método é usado em física, por exemplo, para o estudo de sistemas oscilantes . A generalização de um espaço euclidiano para números imaginários é chamada de espaço de Hermit .

Espaço Minkowski

A física da relatividade especial propõe um mundo governado por leis diferentes das da mecânica clássica. Não é possível ultrapassar uma velocidade crítica, a da luz. Esse limite tem muitas consequências. Para retomar o exemplo de Albert Einstein ( 1879 - 1955 ), um viajante em um trem em movimento e se movendo na direção do trem não tem mais, como velocidade em relação ao solo, a soma exata da velocidade do trem e de seus deslocamento, mas um pouco menos.

A modelagem física usa um espaço quadridimensional contendo espaço e tempo . Ele está associado a uma geometria diferente. Se denotarmos x , y , z e ct as quatro coordenadas de um ponto em um sistema de coordenadas ortogonais , na geometria euclidiana o quadrado da distância do ponto à origem é dado pela fórmula: x 2 + y 2 + z 2 + (ct) 2 , expressão que tem o status matemático de forma quadrática . No mundo da relatividade especial, a fórmula: x 2 + y 2 + z 2 - (ct) 2 , que também é uma forma quadrática, desempenha um papel análogo. Aqui, c denota a velocidade da luz e t uma duração, a fórmula é bastante homogênea. Equipado com esta forma, o espaço é denominado Minkowski .

A modificação de um sinal na igualdade definindo a forma quadrática (o “quadrado da distância”) muda a natureza da geometria associada: esta quantidade não é mais necessariamente positiva. Para ir do centro assinalado A na figura à direita ao ponto C , é necessário exceder a velocidade da luz. O quadrado da distância entre A e C é estritamente negativo, esta distância é puramente imaginária . Na verdade, se o quadrado da distância for estritamente negativo, a velocidade necessária para alcançar o ponto C do ponto A é maior do que a da luz. Por conseguinte, e como parte da relatividade especial, este ponto não pode ser interagiu com A .

Todos ponto remoto (espaço-temporal) de zero A forma um cone chamado cone de luz A . Este cone é constituído pelos pontos que supõem um deslocamento à velocidade da luz a serem unidos a partir do ponto A (em sua parte superior, futuro); e o conjunto de pontos que unem A à velocidade da luz (em sua parte inferior, passado).
Corresponde ao limite físico dos pontos de espaço-tempo em possível interação com A  :

De forma mais geral, o conjunto de pontos em distâncias iguais (espaço-temporais) de A é um hiperbolóide , enquanto no caso euclidiano, o conjunto de pontos em distâncias iguais de um centro define uma esfera .

Variedade

Nem todas as geometrias satisfazem o quinto postulado de Euclides. A superfície de uma esfera é um exemplo imediatamente acessível. O caminho mais curto entre dois pontos é sempre ao longo de um grande círculo cujo centro é o da esfera. Esta curva, portanto, atua como uma linha reta para a geometria da esfera . Aqui está uma geometria coerente, correspondendo a um caso real. No entanto, o quinto postulado não é mais verificado. Neste exemplo, duas “  linhas retas  ” não confundidas sempre têm dois pontos de interseção.

O abandono do quinto postulado é fundamental. Na verdade, é desejável considerar a esfera, não como um subconjunto de um espaço euclidiano de dimensão 3, mas como uma geometria em si mesma, tendo uma distância e uma relação ortogonal . Sem uma ferramenta desta natureza, o estudo de tal espaço torna-se mais delicado.

A formalização matemática é derivada do exemplo mostrado na figura. Se o estudo se resumir a uma área suficientemente pequena, então é possível usar um mapa planar, ou seja, uma representação euclidiana. Ao chegar perto o suficiente do ponto de estudo, dá uma representação tão precisa quanto desejada. Assim, um plano de Paris nunca será rigorosamente exato porque em uma esfera a soma dos ângulos de um triângulo é sempre maior que 180 graus. No entanto, a dimensão de Paris (em relação à Terra) é pequena o suficiente para que o erro seja insignificante.

Este método de definir a geometria de espaços curvos, pelos dados de uma família de mapas locais, pode ser generalizado. Obtemos assim uma descrição dos espaços curvos usuais (curvas e superfícies como a esfera), mas também, a possibilidade de construir pelo mesmo método espaços curvos abstratos com o nome de variedades . A geometria Riemanniana é o ramo da matemática que estuda os espaços curvos nos quais existem distâncias e ângulos, que são chamados de variedades Riemannianas . A pesquisa e o estudo dos caminhos mais curtos, ou geodésicas , é uma das grandes preocupações deste ramo.

A escala astrofísica não pode se contentar com a geometria de Riemann. Na teoria da relatividade geral , os modelos utilizados não são mais baseados na geometria euclidiana, mas sim no espaço de Minkowski. A moldura de estudo é sempre um espaço curvo (variedade), mas consideramos uma forma quadrática que não é mais necessariamente positiva; a variedade torna-se Lorentziana (ou, mais geralmente, pseudo-Riemanniana).
Assim, a gravidade se manifesta como o caminho curvo seguido por uma massa ao longo de uma geodésica não euclidiana.

Notas e referências

  1. André Deledicq (com trechos da tradução de Euclides de François Peyrard de 1819), Os Elementos de Euclides para o colégio e a escola secundária , Les éditions du Kangourou, 1999.
  2. Este resultado data de antes das descobertas da civilização islâmica: [PDF] J.-L. Périllié, A descoberta do incomensurável e a vertigem do infinito , transcrição de uma conferência realizada em 16 de maio de 2001 em Grenoble, p . 18
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  4. As técnicas utilizadas são amplamente baseadas na álgebra polinomial . Gauss, no entanto, os considera como aritméticos, ele escreve sobre este assunto: “A teoria da divisão do círculo, ou dos polígonos regulares [...] não pertence por si só à Aritmética, mas seus princípios não podem ser extraídos apenas da Aritmética Transcendente. » Pesquisa aritmética , prefácio, p. xv
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Bibliografia

Veja também

Artigos relacionados

links externos