Homothety

Um homothety é uma transformação geométrica por aumento ou redução ; em outras palavras, uma reprodução com mudança de escala . É caracterizado por seu centro , um ponto invariante e uma razão que é um número real . Pela homotetia do centro O e da razão k , o ponto M é transformado em um ponto N tal que

{\ displaystyle {\ overrightarrow {ON}} = k \, {\ overrightarrow {OM}}.}

Em outras palavras, a homotetia deixa O fixo e envia o ponto M para um ponto N localizado na linha ( OM ) por um aumento ou redução da razão k . Por exemplo, duas bonecas russas olhando na mesma direção podem ser vistas como homotéticas .

As diluições de razão diferente de zero são casos especiais de semelhanças : elas multiplicam as distâncias pelo valor absoluto de sua razão e preservam os ângulos.

Introduzida na geometria clássica , a noção de homotetia é generalizada para os quadros de espaços vetoriais ou espaços afins . O conjunto de homotetias vetoriais de razão diferente de zero, dotado da composição , forma um grupo denominado grupo de homotetias , e o conjunto de dilatações afins de razão diferente de zero e translações dotadas da composição também forma um grupo, denominado grupo de homotetia-traduções .

O termo homothety , devido ao matemático francês Michel Chasles , é composto por dois elementos de origem grega: o prefixo homo- ( ὁμός ), "semelhante", e tese ( θέσις ), "posição". Ele traduz a correspondência entre duas figuras com a mesma forma e a mesma orientação.

Definição em geometria afim

Em um espaço afim P (por exemplo no plano ou no espaço usual), para um dado ponto O de P e um escalar não nulo k , a homotetia com centro O e razão k é uma transformação f de P que sai do ponto O invariante e tal que, para qualquer ponto M distinto de O:

Os pontos O , M e f ( M ) estão alinhados;
A razão algébrica vale k :

{\ frac {\ overline {Of (M)}} {\ overline {OM}}} = k

No caso mais comum em que o campo de escalares no espaço afim P é o de números reais ou números complexos , dizemos que uma dilatação da razão k com:

| k |> 1, é um aumento da proporção | k | ;
| k | <1, é uma redução da razão | k |.

Dois casos especiais devem ser mencionados:

Se k = 1, sendo cada ponto invariante , a homotetia é a transformação da identidade : cada ponto é enviado a si mesmo;
Se k = -1, -1 o rácio da dilatação é a simetria central, centro ó .

Observe que se o campo de escalares no espaço afim P tem uma característica igual a 2, esses dois pontos são mesclados.

Uma escala afim de razão diferente de zero é um mapa afim que é bijetivo , e seu mapa linear associado é a escala vetorial da mesma razão (veja abaixo).

Construção da homotética de um ponto

Na prática (no caso do plano ou do espaço usual), construir a imagem N = f ( M ) de um ponto M por uma homotetia f com centro O e razão k ( N é denominado l ' homotético de M ), devemos traçar a linha ( OM ), então:

se k for positivo, coloque em ( OM ) o ponto N de modo que a direção de O para M seja a mesma que de O para N e de modo que o comprimento do segmento [ ON ] seja igual k vezes o comprimento do segmento [ OM ];
se k for negativo, coloque em ( OM ) o ponto N de modo que a direção de O para M seja o oposto daquela de O para N e de modo que o comprimento do segmento [ ON ] seja igual a -k vezes o comprimento de o segmento [ OM ];

Em seguida, N é geometricamente semelhante a M .

Propriedades afins

Qualquer homotetia transforma uma linha reta em uma linha reta paralela a ela.

Sem usar o teorema de Tales , se h é uma homotetia com centro O enviando os pontos M e N em f ( M ) e f ( N ), então a relação de Chasles dá:

{\ displaystyle f (M) f (N) = Of (N) -Of (M) = k \ cdot (ON-OM) = k \ cdot MN}

Em particular, as linhas ( f ( M ) f ( N )) e ( MN ) têm a mesma linha de vetor de direção; eles são, portanto, paralelos. As diluições afins de razão diferente de zero são, com translações, as únicas aplicações do espaço afim em si mesmo possuindo essa propriedade. Isso permite uma caracterização puramente geométrica da homotetia em dimensão pelo menos 2: são os mapas afins que transformam uma reta em uma reta paralela e que possuem pelo menos um ponto fixo.

Qualquer homotetia preserva o paralelismo: duas linhas paralelas são enviadas em duas linhas paralelas.

De fato, se duas retas d e d ' são paralelas, eh é uma homotetia, então, pela propriedade precedente, h ( d ) e d são paralelas e h ( d' ) ed ' também são paralelas. Por transitividade, as retas h ( d ) eh ( d ' ) são, portanto, paralelas.

Qualquer homothety preserva as relações algébricas.

Se M , N , P e Q são quatro pontos alinhados, e h é uma dilatação da razão k , foi obtido:

{\ displaystyle h (M) h (N) = k \ cdot MN \ {\ textrm {et}} \ h (P) h (Q) = k \ cdot PQ}

Se PQ = u MN , então, como k é diferente de zero, h ( P ) h ( Q ) = u h ( M ) h ( N ). Portanto, h preserva as relações algébricas.

Teorema de Tales

As propriedades citadas acima são uma reformulação do teorema de Tales:

Teorema de Tales - Seja OMB um triângulo e dois pontos N e A respectivamente nas linhas ( OM ) e ( OB ). Então, as linhas ( BM ) e ( AN ) são paralelas se e somente se as seguintes razões algébricas são iguais:

{\ frac {\ overline {OA}} {\ overline {OB}}} = {\ frac {\ overline {ON}} {\ overline {OM}}}

Tomando novamente as notações do teorema citado, se os pontos A e N são as respectivas imagens dos pontos B e M pela mesma homotetia com centro O , verifica-se a igualdade das razões algébricas. O significado recíproco implica que as linhas ( AN ) e ( BM ) são paralelas. O teorema de Tales mostra que qualquer homotetia transforma uma reta em uma reta paralela a ela.

Além disso, Thales' teorema mostra que existe exactamente um único centro de dilatação O envio M em N . Este escalonamento envia qualquer ponto B não alinhado com S , M e N no ponto de intersecção da linha ( OB ) com o paralelo ( BM ) através N . A construção da imagem de um ponto na linha ( OM ) requer para construir a imagem prévia de um não alinhado com o ponto S , M e N .

Composição

O composto de duas homotetia com centro O e razões k e k ' é uma homotetia com centro O e razão kk' . Toda homotetia central O é composição estável: forma um subgrupo comutativo o grupo de transformações do espaço.

O composto de duas homotetias de centros diferentes O e O ' e das razões k e k' é:

uma tradução vetorial se o produto kk ' for igual a 1; $(1-k ') \ overrightarrow {OO'}$
uma homotetia com razão kk ' e centro O' ' baricentro dos pontos ( O , kk' - k ' ) e ( O' , k ' –1) se kk' for diferente de 1.

O composto t o h de uma homotetia com centro O e razão k e uma tradução com o vetor u também é uma homotetia com razão k e baricentro de centro O '' dos pontos ( O , k ) e ( O ' , -1) onde O 'é o ponto tal que . Finalmente, o composto h o t é uma homotetia com razão ke centro O '' baricentro de ( O ' , k ) e ( O , –1) onde O' é o ponto tal que . $\ overrightarrow {OO '} = u$ $\ overrightarrow {O'O} = u$

Essas propriedades mostram que o conjunto de homotetia e traduções é estável por composição; forma um subgrupo não comutativo do grupo de transformações espaciais.

Propriedade em geometria euclidiana

Na geometria euclidiana, composto de um centro de rotação O e uma dilatação do centro de O é chamado de centro de similaridade O . Como todas as semelhanças, a homotetia satisfaz as seguintes propriedades:

Qualquer homotetia preserva os ângulos e, portanto, em particular a ortogonalidade. Uma homotetia é, portanto, uma transformação conforme;
Uma dilatação transforma um círculo em um círculo;
Uma escala de razão k modifica as distâncias por um fator e modifica os volumes por um fator onde n é a dimensão do espaço. $| k |$ $| k | ^ {n}$

No plano complexo

Pelo homotetia de centro A com afixo um eo rácio K , o ponto M com afixo z tem por imagem do ponto M 'com afixo z' verificação:

z '= k (za) + a ~

Figura característica do trapézio

Se ABCD é um trapézio tal que com k diferente de 1, existem duas homotetias que transformam [ AB ] em [ CD ]: uma da intersecção do centro O ' das diagonais e da razão - k e a outra, da intersecção do centro O do linhas ( AD ) e ( BC ) e relatório k . $\ overrightarrow {DC} = k \ overrightarrow {AB}$

Geometria vetorial

Em um espaço vetorial V em um campo comutativo , chamamos a razão escalar k do mapa k . id , que a qualquer vetor v associa o vetor kv . É um endomorfismo de V . Se V é de dimensão finita n , a matriz de k .id , em qualquer base de V , é a matriz escalar k .I n onde I n é a matriz identidade de tamanho n .

O valor próprio único de k .id é k .

Para dois espaços vector E e F e dois lineares mapas f e g a partir de E a F , se f ( x ) é um múltiplo de g ( x ) para qualquer vector x de E , então f é o composto de g por uma homotetia de F .

Em particular, um endomorfismo h de V é uma homotetia se (e somente se) todos os vetores diferentes de zero de V são próprios para h .

Deduzimos facilmente que um endomorfismo h de V é uma homotetia se (e somente se) h comuta para qualquer endomorfismo de V , ou mesmo apenas para qualquer projeção em uma linha , ou mesmo para qualquer elemento do grupo especial linear SL ( V ) .

Referências

François e Dominique Liret Martinais, Matemática para DEUG : Algebra 1 st ano: Curso e exercícios com soluções , Dunod ,1997( ISBN 978-2-10-003149-8 ) , p. 183.
Veja, por exemplo, este exercício corrigido sobre a Wikiversidade .
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Bibliografia

Jacqueline Lelong-Ferrand , Fundamentos da geometria , Paris, PUF ,1985, 287 p. ( ISBN 2-13-038851-5 )