Forma quadrática

Em matemática , uma forma quadrática é um polinômio homogêneo de grau 2 com qualquer número de variáveis. As formas quadráticas de uma, duas e três variáveis são dadas respectivamente pelas seguintes fórmulas ( a, b, c, d, e, f denotando coeficientes ):

Q (x) = ax ^ {2}

Q (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}

Q (x, y, z) = ax ^ {2} + por ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz.

O arquétipo da forma quadrática é a forma $x 2 + y 2 + z 2$ sobre ℝ 3 , que define a estrutura euclidiana e cuja raiz quadrada permite calcular a norma de um vetor. Outro exemplo muito clássico é a forma $x 2 + y 2 + z 2 - t 2$ sobre ℝ 4 , que permite definir o espaço de Minkowski usado na relatividade especial .. É por isso que a teoria das formas quadráticas usa o vocabulário da geometria (ortogonalidade). A geometria é um bom guia para abordar essa teoria, apesar de algumas armadilhas, relacionadas em particular a questões de signos ou mais geralmente à escolha do corpo em que os coeficientes variam.

As formas quadráticas estão envolvidas em muitos campos da matemática: resultados de classificação diferentes para cônicas e mais geralmente quádricas , busca por um mínimo ou máximo local de uma função de várias variáveis de um desenvolvimento limitado , introdução da curvatura das superfícies, análise de componentes principais em estatística . As formas quadráticas inteiras envolvidas na teoria dos números e topologia algébrica .

Também encontramos formas quadráticas em vários campos da física: para definir o elipsóide de inércia na mecânica dos sólidos , na relatividade especial ou geral ...

Em geral

Definição comum

Os exemplos mais simples de formas quadráticas são dados com várias variáveis e coeficientes, começando com formas quadráticas binárias . A definição geral é escrita em um módulo em um anel comutativo . Limitamo-nos inicialmente ao caso de um espaço vetorial $V$ em um campo comutativo $K$ de característica diferente de 2 (que permite a divisão por 2, como para ℝ ou ℂ ). Podemos, então, formular uma definição derivada das formas bilineares :

Uma forma quadrática em $V$ é um mapa $Q : V \to K$ tal que existe uma forma bilinear simétrica $B : V \times V \to K$ tal que

\ forall u \ in V, Q (u) = B (u, u).

A forma $B$ é então única: nós a encontramos por uma identidade de polarização , conseqüência da bilinearidade

{\ displaystyle B (u, v) = {\ frac {1} {2}} \ left (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ right)}

É chamada a forma bilinear associada com $Q$ , ou a forma polar de $Q$ . Assim, $Q$ e $B$ são determinados mutuamente.

Podemos dar exemplos simples: quando temos um produto escalar , o mapa que associa o quadrado de sua norma a um vetor é uma forma quadrática. Ou ainda, se $( e 1 , ..., e n )$ é uma base de um espaço vetorial de dimensão n , notando $( v 1 , ..., v n )$ as coordenadas de $v \in V$ nesta base, os $mapas$ $v \mapsto v 1 2$ e $v \mapsto 2 v 1 v 2$ são formas quadráticas. As formas bilineares associadas são respectivamente $( v , w ) \mapsto v 1 w 1$ e $( v , w ) \mapsto v 1 w 2 + v 2 w 1$ .

Cálculos algébricos

Dois vectores de $x$ e $y$ são chamados ortogonal em relação a $Q$ , se $B ( x , y ) = 0$ , que tem um sentido tendo em conta a correspondência entre $Q$ e $B$ .

Para qualquer escalar $a$ e qualquer vetor $e$ , $Q ( ae ) = a 2 Q ( e )$ .
Dois vectores de $u$ e $v$ são ortogonais em relação a $B$ , se e somente se Q ( u + v ) = Q ( L ) + Q ( v ).
De modo mais geral, para todos os vetores de $um e 1 , ..., e n$ pares ortogonal a B e todos escalar $tem 1 , ..., a n$ , . ${\ displaystyle Q \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} e_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2 } Q (e_ {i})}$
$Q$ obedece à regra do paralelogramo : Q ( u + v ) + Q ( u - v ) = 2 Q ( u ) + 2 Q ( v ).
A soma de duas formas quadráticas e, mais geralmente, as combinações lineares de formas quadráticas são formas quadráticas.

A expressão "quadrático" vem de "quadrado" e atesta o aparecimento de coeficientes quadrados nessas fórmulas. No entanto, isso não significa que Q ( x ) seja um positivo real, nem sempre é o caso.

Expressão de matriz

Se $V$ é de dimensão n , e se é uma base de $V$ , associamos com $B$ a matriz simétrica $B$ definida por ${\ displaystyle e = (e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}$ ${\ mathbf {B}} _ {{ij}} = B (e_ {i}, e_ {j}).$ O valor da forma quadrática $Q$ é então dado por ${\ displaystyle Q (u) = \ mathbf {^ {T} u} \ mathbf {Bu} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} B_ {ij} u_ {i} u_ {j}}$ onde o $u j$ são as coordenadas de $u$ nesta base, e $L$ a matriz da coluna formada por estas coordenadas. Dizemos que $B$ é a matriz de $Q$ na base $e$ .

A expressão de $Q ( u )$ é um polinômio homogêneo de grau 2 em relação às coordenadas de $u$ , conforme indicado na introdução. Porém, os coeficientes do polinômio dependem da escolha básica, enquanto a definição formal tem a vantagem de ser totalmente livre de tal escolha. Precisamente, se $e$ '= $( e' i ) 1 \leq i \leq n$ é outra base de $V$ , e seja $P$ a matriz de transição de $e$ para $e$ '. Da relação $u = P u '$ desenhamos $B' = T P B P$ para a matriz de $B$ na nova base. Dizemos que $B$ e $B '$ são congruentes .

Ortogonalidade, isotropia, degeneração

Ortogonalidade dos espaços

Mais geralmente, se $W$ é um subespaço vetorial de $V$ , o ortogonal de $W$ é o subespaço

{\ displaystyle W ^ {\ perp} = \ {x \ in V \ mid \ forall y \ in W \ quad B (x, y) = 0 \}}

Essas noções generalizam a ortogonalidade em espaços euclidianos, mas existem algumas armadilhas. Por exemplo, em $K \times K$ , para a forma quadrática $Q ( x , y ) = xy$ , cada um dos subespaços $K \times {0}$ e ${0} \times K$ é seu próprio ortogonal.

Teorema - Para qualquer forma quadrática em um espaço de dimensão finita, existe uma base formada por vetores ortogonais dois por dois.

Existem duas provas clássicas desse resultado. O primeiro consiste em uma prova por indução sobre a dimensão do espaço. Para estabelecer a hereditariedade consideramos um vetor $v$ tal que $Q ( v ) \neq 0$ (se houver, caso contrário, a forma quadrática é zero e a prova é completa) e aplicamos a hipótese de indução no hiperplano do núcleo da forma linear diferente de zero $x \mapsto B ( x , v )$ . O segundo método é um algoritmo de componente explícito, a redução de Gauss , que mostra $Q$ como uma combinação linear de quadrados de formas lineares. Então, é suficiente introduzir uma base dupla .

Radical, degeneração e classificação

O núcleo de uma forma quadrática $Q$ (também dizemos radical ) é por definição o ortogonal de todo o espaço $V.$ Este espaço é o núcleo do mapa linear de $V$ no espaço dual $V *$ que associa com $x$ a forma linear $y \mapsto B ( x , y )$ . Se $( e i ) i$ é uma base ortogonal de $V$ , $rad ( Q )$ é o subespaço vetorial gerado pelo $e i$ tal que $Q ( e i ) = 0$ .

Uma forma quadrática é dita não degenerada se $rad ( Q ) = 0$ , em outras palavras, se o mapa linear acima é injetivo .

Se $F$ é um subespaço adicional de $rad {( Q )}$ , a restrição de $Q$ a $F$ é não degenerada, e $Q$ dá ao passar o quociente uma forma quadrática não degenerada no espaço quociente V / rad ( Q ).

Se $Q$ não for degenerado, $dim ( W ) + dim ( W ⊥ ) = dim ( V )$ , mas $V$ nem sempre é a soma direta de $W$ e sua ortogonal, como a situação euclidiana pode sugerir.

A classificação de $Q$ é por definição a classificação do mapa de $V$ em V * definido acima. De acordo com o teorema da classificação , temos, portanto: $rg ( Q ) + dim (rad ( Q )) = dim ( V )$ . Se $V$ é de dimensão finita, $rg ( Q )$ é também o posto da matriz de $Q$ em qualquer base.

Isotropia

Um vetor diferente de zero $v$ é considerado isotrópico se $Q ( v ) = 0$ .

Um subespaço vetorial $W$ de $V$ é considerado totalmente isotrópico se a restrição de $Q$ a $W$ for a forma zero.

Exemplo . Em K 2 n , seja $Q$ a forma quadrática dada por

Q (v) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} v_ {i} v _ {{i + n}}

O subespaço é completamente isotrópico. Todos os subespaços totalmente isotrópicos máximos têm a mesma dimensão. Essa dimensão é chamada de índice de isotropia . $\ {v \ in V \ mid v_ {i} = 0 \ {\ mathrm {si}} \ 1 \ leq i \ leq n \}$

Exemplos . É zero para o quadrado da norma euclidiana, e é igual an no exemplo anterior, bem como para a forma quadrática em ℂ 2 n dada por

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {2n} z_ {i} ^ {2}.}

Mais geralmente, o índice de isotropia de uma forma quadrática não degenerada em um espaço vetorial complexo é igual a $⌊dim V / 2⌋$ (parte inteira).

Discriminante

É $Q$ uma forma quadrática e $B$ a matriz em uma base $V$ .

Se realizar uma mudança de base de matriz $P$ (ver § "Expressão matriz" acima ), a matriz de $Q$ na nova base será $B ' = T P B P$ .

De acordo com as propriedades elementares dos determinantes , $\ det {{\ rm {B}}} ^ {\ prime} = (\ det P) ^ {2} \ det {{\ rm {B}}}.$ Se $Q$ for não degenerado, a imagem do determinante no grupo quociente $K * / ( K *) 2$ não depende da base; é esse elemento que chamamos de discriminante da forma quadrática.

Se $Q$ for degenerado, concordamos que o discriminante é zero.

Exemplos

Corpo quadraticamente fechado

K

for fechado quadraticamente (em particular se for fechado algebricamente , como o campo dos complexos ), o quociente K * / ( K *) 2 é o grupo trivial e o discriminante é irrelevante.

Corpo real

O quociente ℝ * / (ℝ *) 2 se identifica com {± 1}, visto como um subgrupo multiplicativo de ℝ *. Podemos, portanto, falar de formas quadráticas com um discriminante positivo ou negativo. Por exemplo, o discriminante da forma quadrática

ax 2 + 2 bxy + cy 2

sobre ℝ 2 , assumido como não degenerado, é dado pelo sinal de

ac - b 2

. Se for positiva, a forma é definida positiva ou definida negativa ; se for negativa, a redução gaussiana será da forma

( ux + vy ) 2 - ( u'x + v'y ) 2

. Encontramos, o que não é surpreendente, a teoria da equação quadrática.

Corpos acabados

K

é um corpo finito de característica diferente de 2, o grupo

K *

é cíclico de ordem par e

K * / ( K *) 2

ainda é de ordem 2.

Corpo racional

A decomposição de um inteiro em fatores primos mostra que ℚ * / (ℚ *) 2 é infinito.

Classificação de formas quadráticas

Diremos que duas formas quadráticas $Q$ e $Q '$ são equivalentes (alguns autores dizem isométrica ) se existe um mapa linear invertível $ϕ$ tal que . Isso equivale a dizer que a expressão de $Q '$ em uma base $($ $e$ $i$ $)$ $1 \leq$ $i$ $\leq$ $n$ é idêntica (como um polinômio em relação às coordenadas) àquela de $Q$ na base $($ $ϕ$ $($ $e$ $i$ $))$ $1 \leq$ $i$ $\leq$ $n$ . Isso também equivale a dizer que suas matrizes na mesma base são congruentes. $\, Q ^ {\ prime} = Q \ circ \ phi$

Classificar as formas quadráticas em um espaço vetorial $V$ é:

determinar as classes de equivalência da relação precedente (que é claramente uma relação de equivalência );
ou, o que dá no mesmo, determinar as órbitas do conjunto de formas quadráticas sob a ação do grupo linear $GL ( V )$ dado por

$(\ phi, Q) \ mapsto Q \ circ \ phi$

(são duas formas de expressar a mesma coisa).

Em $K n$ (onde $K$ é um campo de característica diferente de 2):

duas formas equivalentes têm a mesma classificação e o mesmo discriminante (e o mesmo índice de isotropia);
qualquer forma quadrática de classificação r é equivalente a para certas constantes diferentes de zero $c$ $i$ ( veja acima ). ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {r} c_ {i} v_ {i} ^ {2}}$

Deduzimos os seguintes resultados:

se $K$ (com uma característica diferente de 2) for quadraticamente fechado, duas formas quadráticas serão equivalentes se e somente se tiverem a mesma classificação;
se $K = ℝ$ , duas formas quadráticas são equivalentes se e somente se tiverem o mesmo posto e a mesma assinatura ( lei da inércia de Sylvester );
se $K$ (com característica diferente de 2) é um corpo finito, qualquer forma quadrática não degenerada em $K n$ com discriminante $a \equiv ( K *) 2$ é equivalente a $x 21 + ... + x 2 n -1 + machado 2 n$ (por indução, é suficiente prová-lo para n = 2, o que equivale a encontrar, para todos os escalares diferentes de zero $λ , μ$ , um vetor $( x , y )$ de K 2 tal que $λx 2 + μy 2 = 1$ ; existem, de acordo com o princípio das gavetas ). Sabendo que $K * / ( K *) 2$ tem dois elementos, isso mostra que existem exatamente duas classes de equivalência de formas quadráticas não degeneradas em $K n$ ;
se $K = ℚ$ , da dimensão 1, existe uma infinidade de formas quadráticas dois por dois não equivalentes.

Geometria de formas quadráticas

Teorema de Witt

Forma quadrática dupla de uma forma quadrática de classificação máxima

Se $Q$ é de classificação máxima no espaço vetorial $V$ , a forma bilinear associada $B$ define um isomorfismo entre $V$ e seu dual $V *$ : com $v \in V$ associamos a forma linear $ϕ B ( v )$ definida por

{\ displaystyle \ forall w \ in V, \ phi _ {B} (v) (w) = B (v, w).}

Em seguida, definimos uma forma quadrática $Q *$ em $V *$ definindo

{\ displaystyle \ forall \ xi \ in V ^ {\ ast}, Q ^ {\ ast} (\ xi) = Q \ left (\ phi _ {B} ^ {- 1} (\ xi) \ right). }

Se $A$ é a matriz de $Q$ em uma base de $V$ , a matriz de $Q *$ na base dual de $V *$ é $A -1$ .

Aplicação às quádricas Se considerarmos $Q ( v ) = 0$ como a equação de uma quádrica projetiva do espaço projetivo $P ( V )$ , a forma $Q *$ dá a equação tangencial da quádrica considerada.

Caixa de qualquer anel

A teoria das formas quadráticas em qualquer anel é ligeiramente diferente, principalmente porque a divisão por 2 não é possível. Já não é verdadeiro quer cada forma quadrática possui a forma de $Q ( u ) = B ( u , u )$ para uma forma simétrica bilinear $B$ . Além disso, na característica 2, mesmo quando $B$ existe, ela não é única: como as formas alternativas também são simétricas na característica 2, podemos adicionar qualquer forma alternativa a $B$ e obter a mesma forma quadrática.

Uma definição mais geral de uma forma quadrática sobre qualquer anel comutativo $R$ é a seguinte.

Uma forma quadrática em um R- módulo $V$ é um mapa $Q : V \to R$ tal que:

$Q ( au ) = a 2 Q ( u )$ para qualquer escalar $a$ e qualquer vetor $u$ ;
$( U , v ) \mapsto Q ( u + v ) - Q ( u ) - Q ( v )$ é uma forma bilinear em $V$ .

Formas quadráticas inteiras

As mais estudadas formas quadráticas inteiros (isto é, com números inteiros coeficientes ) foram pela primeira vez as formas quadráticas binárias , classificadas por Lagrange , em seguida, Gauss , para a resolução de Diofantinas equações tais como dois quadrados de Fermat teorema .

As formas inteiras também desempenham um papel fundamental na teoria da interseção (em) .

Formulários

Se $f : ℝ n \to ℝ$ é uma função da classe C 2 , a parte de ordem 2 de sua expansão de Taylor , digamos em 0, define uma forma quadrática cuja representação da matriz é, até um fator de 1/2, a matriz Hessiana de $f$ em 0. Se 0 é um ponto crítico , esta forma, no caso em que não é degenerado, permite decidir se se trata de um ponto de máximo local, de um ponto de mínimo local ou de um ponto de sela.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente de um artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Forma quadrática " ( veja a lista de autores ) .

Esta é, por exemplo, a prova proposta em Serre 1970 , teorema 1
R. Goblot, Linear Algebra , Masson, Paris 1995, cap. 10, s. 4
Greenhouse 1970 , § 1.1.
(em) Rick Miranda e David R. Morrison (em) , " embeddings of Integral Quadratic Forms " [PDF] ,2009.

Veja também

Bibliografia

Marcel Berger , Geometria [ detalhe das edições ]
Jean-Pierre Serre , curso de Aritmética ,1970[ detalhe das edições ], indivíduo. 4
(pt) Burton W. Jones (pt) , The Arithmetic Theory of Quadratic Forms , MAA , col. "A Mathematical Caro Monographs" ( N O 10),1950( leia online )