Em geometria , a noção geral de ângulo pode ser dividida em vários conceitos.
Em seu sentido antigo, o ângulo é uma figura plana, uma porção do plano delimitada por duas meias-linhas . É assim que falamos sobre os ângulos de um polígono . No entanto, agora é comum usar o termo “setor angular” para essa figura. O ângulo também pode designar uma parte do espaço delimitada por dois planos ( ângulo diedro ). A medição de tais ângulos também é comumente, mas inadequadamente chamada de ângulo.
Em um sentido mais abstrato, o ângulo é uma classe de equivalência , isto é, um conjunto obtido pela assimilação entre si de todas as figuras angulares identificáveis pela isometria . Qualquer uma das figuras identificadas é então chamada de representante do ângulo. Todos esses representantes tendo a mesma medida, podemos falar de uma medida do ângulo abstrato.
É possível definir uma noção de ângulo orientado na geometria euclidiana do plano, bem como estender a noção de ângulo ao arcabouço dos espaços vetoriais pré-hilbertianos ou variedades Riemannianas .
Existem vários tipos de ângulos: ângulo reto , ângulo agudo e ângulo obtuso
A palavra ângulo deriva do latim angulus , palavra que significa "o canto". Segundo o matemático Carpos de Antioquia , o ângulo é uma quantidade e o intervalo das linhas ou superfícies que o incluem; essa lacuna é dimensionada de uma maneira, mas o ângulo não é uma linha para ela.
No plano, duas meias-linhas de mesma origem delimitam duas regiões, chamadas de setores angulares .
Dizemos que dois setores angulares definem o mesmo ângulo quando são sobrepostos (mais formalmente: o ângulo de um setor angular é sua classe de congruência ). Tradicionalmente, falamos de ângulo geométrico para esta noção de ângulo, mas este termo também pode designar, na terminologia moderna, uma noção semelhante menos refinada ( ver abaixo ).
Diz-se que um ângulo é saliente se os setores angulares que o representam são convexos e reentrantes, se não.
Portanto, um par de meias-linhas da mesma origem geralmente define dois ângulos: um saliente e outro reentrante (o caso excepcional é o do ângulo plano ).
No plano, podemos falar do ângulo de duas linhas que se cruzam. Duas linhas secantes cortam o plano em 4 setores angulares salientes, correspondendo a dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Os ângulos opostos são iguais e os ângulos adjacentes são adicionais . Geralmente, existem dois valores possíveis para esses ângulos. Às vezes optamos por favorecer o menor ângulo, ou seja, o ângulo agudo ou reto.
A medida do ângulo de um setor angular é o número real positivo que mede a proporção do plano ocupado pelo setor angular. As unidades utilizadas para quantificá-lo são o radiano , o quadrante e suas subdivisões, o grau , suas subunidades e o grau . Os ângulos são frequentemente denotados por uma letra grega minúscula, por exemplo α, β, θ, ρ ... Quando o ângulo está no topo de um polígono e não há ambigüidade, então o nome é usado para o topo encimado por um chapéu, para exemplo  .
Para avaliar este ângulo, esta "proporção de superfície", toma-se um disco centrado no ponto de intersecção e realiza-se a relação entre a área da porção do disco interceptada pelo setor angular e a área total do disco. Podemos mostrar que isso também equivale a fazer a relação entre o comprimento do arco interceptado e a circunferência do círculo; este valor menor que 1 é chamado de número de voltas . O valor 1/4 (quarto de volta) corresponde ao quadrante .
Uma unidade comumente usada é o grau , que é o resultado da divisão do quadrante em 90 partes iguais. A volta completa corresponde, portanto, a 360 graus. O minuto do arco é um submúltiplo de um grau, igual a 1/60 de um grau. Da mesma forma, o segundo do arco é igual a 1/60 do minuto do arco, ou 1/3600 de um grau. O grau é mais raramente usado , o que corresponde a uma subdivisão centesimal do quadrante.
A unidade internacional de medida para ângulos, entretanto, é o radiano , definido como a razão entre o comprimento do arco interceptado e o raio do círculo. A volta completa, portanto, corresponde a radianos.
Os ângulos podem ser calculados a partir dos comprimentos laterais dos polígonos , especialmente triângulos , usando trigonometria .
A unidade de medida para ângulos usada principalmente pelos militares é a milésima . É o ângulo em que vemos 1 metro a 1 quilômetro. 6283 milésimos correspondem a 2π radianos ou 360 graus, ou 360 ° / arctan (1 m / 1000 m ). Em outras palavras, milésimo = mrad (milirradiano).
Os ângulos “no campo” podem ser medidos com um dispositivo chamado goniômetro ; geralmente compreende uma régua curva graduada em graus, chamada transferidor .
Em ciência da computação, o 1/16 de um grau pode ser usado, ou 5760 para 360 °.
Os ângulos correspondentes a um número inteiro de quadrantes têm um nome especial. A tabela a seguir representa os valores dos ângulos particulares nas várias unidades.
Ângulo | Representação | Número de voltas | Número de quadrantes | Radianos | Grau | Avaliar |
---|---|---|---|---|---|---|
Ângulo total | 1 volta | 4 quadrantes | 2π rad | 360 ° | 400 gr | |
Ângulo plano | 1/2 volta | 2 quadrantes | π rad | 180 ° | 200 gr | |
Ângulo certo | 1/4 de volta | 1 quadrante | π / 2 rad | 90 ° | 100 gr | |
Ângulo zero | 0 volta | 0 quadrante | 0 rad | 0 ° | 0 gr |
O ângulo reto é obtido considerando duas retas que dividem o plano em quatro setores iguais. Essas linhas são ortogonais ou perpendiculares.
O ângulo é freqüentemente confundido com sua medida. Assim, por exemplo, um ângulo plano é erroneamente considerado "igual" a 180 °. Esse abuso é amplamente praticado no restante deste artigo.
Os seguintes qualificadores são usados para ângulos que tomam valores intermediários entre esses valores notáveis:
Para qualificar os valores relativos de dois ângulos, usamos as seguintes expressões:
Ainda utilizamos outras expressões para qualificar a posição dos ângulos em uma figura, ou seja, mais precisamente, a posição relativa dos setores angulares:
Observe que dois ângulos complementares ou adicionais não são necessariamente adjacentes: Por exemplo, em um triângulo retângulo ABE em B, os ângulos  e Ê são complementares.
Por extensão, também definimos os ângulos entre meias-linhas, segmentos de linha e vetores , estendendo as linhas que transportam esses objetos até sua interseção. A definição por meias-linhas ou vetores permite remover a indeterminação entre os ângulos adicionais, ou seja, definir sem ambigüidade qual setor angular usar para definir a inclinação das direções.
Um ângulo geométrico é, na terminologia atual, a classe de equivalência de um par de meias-linhas da mesma origem, dois desses pares sendo considerados equivalentes se forem sobreponíveis .
Se notarmos o ângulo geométrico associado ao par de meias-linhas , temos (por simetria com respeito à bissetriz ) :, isto é, este ângulo depende apenas do par .
O ângulo saliente e o ângulo reentrante associado a tal par ( ver acima ), portanto, correspondem, com esta nova terminologia, ao mesmo "ângulo geométrico", cujo representante preferido é o ângulo saliente (medido entre 0 e 180 ° )
Pode ser interpretado de várias maneiras: divergência entre duas direções, direções das faces de um objeto (canto), direção em relação ao norte (ângulo dado por uma bússola) ... O ângulo também pode ser interpretado como a abertura do setor angular. É a medida da inclinação de uma meia-linha em relação à outra.
Se uma tradução transforma em e em , isso não muda o ângulo geométrica: . Podemos, portanto, definir o ângulo geométrico de dois vetores diferentes de zero e como o ângulo entre duas meias-linhas dirigidas por esses dois vetores, e de origem comum arbitrária. Ou ainda: dois pares e vetores diferentes de zero são equivalentes (representam o mesmo ângulo geométrico) se houver uma isometria vetorial que transforma os vetores unitários e em e . (Assim, definimos uma relação de equivalência entre pares, porque as isometrias vetoriais formam um grupo .)
A apresentação de ângulos orientados em um plano pode ser feita de forma intuitiva ou mais formalista.
A primeira abordagem consiste em ver o ângulo como o traço de uma rotação: a rotação que envia a meia-linha (Ox) sobre a meia-linha (Oy) é em geral diferente daquela que envia (Oy) sobre (Ox). Os ângulos (Boi, Oy) e (Oy, Boi) são então considerados distintos, indicando que eles têm a mesma medida, mas direções de viagem diferentes.
Outra abordagem consiste em confundir o ângulo orientado e sua medida. Esta abordagem requer a definição de uma orientação prévia do plano, a fim de definir o chamado significado positivo . É esse tipo de abordagem que encontramos quando definimos a medida do ângulo orientado de um par de vetores unitários usando o comprimento do arco circular orientado que ele determina em um círculo unitário.
A última abordagem, mais formalizada, consiste em ver um ângulo orientado como uma classe de equivalência de pares de meias-linhas vetoriais módulo das rotações do plano, ou o que dá no mesmo, como órbitas de pares de meias-linhas vetoriais pela ação do grupo. de isometrias positivas.
As aproximações por comprimentos de arcos de círculos e como classes de equivalência serão apresentadas a seguir. Usando as mesmas técnicas acima, resulta na mesma coisa, quando falamos sobre ângulos, considerar duas meias-linhas da mesma origem, dois vetores diferentes de zero ou dois vetores unitários. Portanto, limitamos a discussão ao último caso.
Em um círculo com centro O e raio 1, definimos a chamada direção positiva de deslocamento , em geral a direção anti-horária, chamada direção trigonométrica. Se A e B são dois pontos do círculo, chamamos comprimento do arco orientado AB, o comprimento de qualquer rota no círculo começando de A e chegando a B. Existem várias rotas possíveis que consistem em adicionar voltas completas do círculo percorrido na direção positiva ou na direção negativa. Sendo o comprimento a conhecido, os outros comprimentos do arco orientado são, portanto, todos da forma a + 2 k π, onde k é qualquer número inteiro relativo. O comprimento correspondente ao caminho mais curto para ir de A a B é chamado de medida principal do arco AB (se houver dois caminhos possíveis, escolhemos a medida positiva). A medida principal é, portanto, um número pertencente ao intervalo] -π, π].
Sejam e dois vetores unitários, e A e B os pontos tais que e , chamamos a medida do ângulo orientado qualquer comprimento do arco orientado AB. A medida principal do ângulo, portanto, tem como valor absoluto a medida do ângulo geométrico . O sinal desta medição principal é positivo se o caminho mais curto de A para B estiver na direção direta, caso contrário, é negativo. Dois pares de vetores com a mesma medida definem o mesmo ângulo orientado.
Nessa abordagem, é necessário que o “enrolamento” da linha real no círculo seja percebido como natural, enrolamento que ainda teria que ser formalizado.
O plano tem a seguinte peculiaridade, em relação às dimensões superiores: podemos refinar a relação de congruência definida para o ângulo geométrico de tal forma que os pares e não representem mais o mesmo ângulo em geral. Para isso, evita-se envolver os reflexos entre as isometrias autorizadas a definir uma nova relação entre os pares, ou seja, que se limita ao subgrupo das rotações do plano vetorial (na dimensão 3 por exemplo, esta limitação falharia porque os dois pares são transformados um do outro não apenas por reflexão em relação ao plano bissetor, mas também por uma rotação de meia volta). Isso leva à seguinte definição:
Um ângulo orientado de vetores é uma classe de equivalência(Agora dispensamos as setas tradicionais em vetores.)
Dois pares (u, v) e (u ', v') de vetores unitários do plano representam o mesmo ângulo orientado se houver uma rotação g tal que u '= g (u) ev' = g (v).
Ao confundir indevidamente um par e o ângulo orientado que ele representa, temos por exemplo: (–u, –v) = (u, v) pela meia volta g = - Id .
Esta nova relação de equivalência é mais fina do que aquela que define os ângulos geométricos. Mais precisamente, como classe de equivalência, o ângulo geométrico é a união dos dois ângulos orientados e .
Cada ângulo orientado corresponde a uma rotaçãoDados dois vetores unitários, há uma única rotação do plano que envia o primeiro para o segundo.
Esta singularidade permite definir uma aplicação que ao par (u, v) de vetores unitários associa a rotação f tal que f (u) = v.
Este mapa T: (u, v) ↦ f, dos pares de vetores às rotações, “ passa ao quociente ”, e assim define uma bijeção S, a partir dos ângulos direcionados às rotações. De fato :
Teorema - (u, v) e (u ', v') representam o mesmo ângulo orientado se e somente se a rotação que envia u sobre v é a mesma que envia u 'sobre v'.
Isso se deve ao fato de o grupo de rotações do plano vetorial ser abeliano .
DemonstraçãoPor definição, (u, v) e (u ', v') representam o mesmo ângulo orientado se e somente se a rotação que envia u sobre u 'é a mesma que envia v sobre v', em outras palavras: T (u, u ') = T (v, v'). Por comutatividade do grupo de rotações, isso é equivalente a T (u ', v) ∘T (u, u') = T (v, v ') ∘T (u', v), ou seja , T (u, v) = T (u ', v').
Os ângulos orientados dos vetores formam um grupoUsando esta bijeção S, podemos então “mapear” a estrutura do grupo abeliano (en) do grupo de rotações no conjunto de ângulos, ou seja, definir a adição dos ângulos a partir da composição das rotações, definindo:
.Definiremos, nos ângulos orientados, uma medida, de forma que a medida da soma seja igual à soma das medidas (para ângulos geométricos, poderíamos definir parcialmente uma soma dos ângulos e das medidas correspondentes: apenas para ângulos "não muito grandes").
A escolha de uma das duas orientações possíveis do plano determina um dos dois isomorfismos do grupo de rotações com o grupo SO (2) das matrizes de rotações do plano ou com o grupo U dos números complexos de módulo 1 . O exponencial complexo torna possível definir a medida do ângulo de rotação dentro de 2π , ou "módulo 2π" (em radianos). Se θ é uma medida do ângulo de rotação f = T (u, v), diremos que θ também é uma medida do ângulo orientado dos vetores (u, v).
Por exemplo, a medida do ângulo reto de direção direta é observada:
ou
.Em resumo, uma orientação do plano sendo escolhido, a medida de um ângulo orientado de vetores é definida por:
,onde a matriz é aquela de T (u, v) em qualquer base ortonormal direta .
É um isomorfismo do grupo de ângulos orientados no grupo aditivo de “módulo real 2π” . Assim, a medição dos ângulos é finalmente aditiva.
Lembre-se, no entanto, de que depende da escolha da orientação da tomada : inverter essa escolha transforma todos os compassos em seus opostos . Encontramos aqui o fato de que um ângulo geométrico, de medida α entre 0 e π, corresponde a dois ângulos opostos orientados, a atribuição (módulo 2π) da medida α a um e, portanto, –α ao outro sendo uma função da orientação do avião.
Além disso, Daniel Perrin e Jean Dieudonné apontam que não podemos falar estritamente de medição porque nenhuma comparação entre duas medições de ângulos é possível.
Em um plano, o ângulo orientado de duas retas é a classe módulo π do ângulo orientado formado por seus vetores de direção. Esse trabalho do módulo π vem do fato de que podemos tomar como um vetor de direção de uma linha reta u ou -u e que mudar um vetor em seu oposto equivale a adicionar π à medida do ângulo correspondente.
Os ângulos orientados por linha são usados para determinar o ângulo de uma rotação composta por duas reflexões. Essa noção também é útil para todos os problemas de alinhamento e ciclicidade.
Duas linhas que se cruzam são necessariamente coplanares, então o ângulo entre as linhas é definido neste plano, da mesma forma que acima.
No espaço, não há noção de um ângulo de retas orientado, mas podemos definir o ângulo de quaisquer duas retas no espaço, secantes ou não, sob a condição de trabalharmos em seus vetores de direção. O ângulo de duas linhas é chamado de ângulo geométrico formado por seus vetores de direção. Geralmente, existem dois valores possíveis para este ângulo, dependendo dos vetores de direção escolhidos. Às vezes, o menor ângulo é o preferido. Assim, o ângulo entre duas linhas paralelas é zero e o ângulo entre duas linhas ortogonais é 90 ° ou π / 2 rad.
O ângulo de duas linhas de vetores de direção uev pode ser determinado usando o produto escalar: é o ângulo cujo cosseno é igual .
Podemos também considerar a noção vizinha de ângulo de dois eixos, em que a orientação dos eixos impõe um único valor ao ângulo que eles formam.
Para definir o ângulo entre dois planos, ou ângulo diedro , consideramos o ângulo formado por suas normais .
Para definir o ângulo entre um plano e uma linha, consideramos o ângulo α entre a linha e sua projeção ortogonal no plano, ou o ângulo complementar entre a linha e a normal ao plano: subtraímos o ângulo β entre a linha e a normal ao plano do ângulo reto (α = π / 2 - β em radianos).
Também definimos os ângulos sólidos : tomamos um ponto (às vezes chamado de “ponto de observação”) e uma superfície no espaço (a “superfície observada”), o ângulo sólido é a porção do espaço delimitada pelo cone tendo por vértice o ponto considerado e repousando sobre o contorno da superfície. Medimos o ângulo sólido calculando a área da tampa cortada pelo cone na esfera de raio um e centralizamos o vértice do cone. A unidade de medida para o ângulo sólido é o esteradiano (sr para abreviar), o espaço completo é 4π sr.