Radiano

Em formação
Radiano
Definição do ângulo em radianos.
Sistema	Unidades derivadas do Sistema Internacional
Unidade de…	Ângulo plano
Símbolo	rad
Conversões
1 rad em ...	é igual a...
volta completa	2 π rad

O radiano (símbolo: rad ) é a unidade derivada do Sistema Internacional que mede ângulos planos . Embora a palavra " radiano " tenha sido cunhada na década de 1870 por Thomas Muir e James Thomson , os matemáticos há muito medem os ângulos usando a razão entre a circunferência e o comprimento do raio como uma unidade.

Definição

Considere um setor angular, formado por duas linhas concorrentes distintas, e um círculo de raio r desenhado em um plano contendo essas duas linhas, cujo centro é o ponto de intersecção das linhas. Então, o valor do ângulo em radianos é a razão entre o comprimento L do arco de um círculo interceptado pelas retas e o raio r .

Um ângulo de um radiano intercepta na circunferência desse círculo um arco de comprimento igual ao raio. Um círculo completo representa um ângulo de 2 π radianos, chamado de ângulo completo .

O uso de radianos é imperativo quando se deriva ou integra uma função trigonométrica ou mesmo quando se usa um desenvolvimento limitado desta função trigonométrica: de fato, o ângulo podendo ser encontrado em fator, apenas o valor em radianos tem uma direção. Portanto, o cálculo das funções trigonométricas por uma série de Taylor supõe a expressão dos ângulos em radianos, assim como a aplicação da fórmula de Euler , que a propôs especificando que os ângulos deveriam ser medidos pelo comprimento em raio do arco. eles interceptam, mais de um século antes da invenção do termo radiano .

Ângulos pequenos

Para ângulos pequenos expressos em radianos, sen x ≈ tan x ≈ x .

Para um ângulo de valor inferior a 0,17 radianos (ou seja, ~ 10 °), o erro é inferior a 1%;
Para um ângulo de valor inferior a 0,05 radianos (ou seja, ~ 3 °), o erro é inferior a 0,1%.

No campo da topografia , onde lidamos com ângulos baixos, usamos o mil angular , uma unidade prática, definida como o ângulo interceptado por um comprimento de 1 mm a uma distância de 1 m . É usado, por exemplo, para determinar a distância de um bastão de altura conhecida medindo seu tamanho aparente . Nas condições em que serve, essa unidade se identifica com um milirradiano .

Relações entre notas, graus e radianos

Uma volta completa é igual a 2 π radianos, 360 graus, 400 graus.

Portanto,

Um radiano é aproximadamente 57,3 ° ou 57 ° 18 '(360 ° ÷ 2π);
um grau equivale a aproximadamente 17,5 milirradianos.

As fórmulas de conversão entre graus e radianos são:

\ theta _ {{deg}} = \ theta _ {{rad}} \ cdot {180 \ over \ pi}

\ theta _ {{rad}} = \ theta _ {{deg}} \ cdot {\ pi \ over 180}

As fórmulas de conversão entre notas e radianos são:

\ theta _ {{gra}} = \ theta _ {{rad}} \ cdot {200 \ over \ pi}

\ theta _ {{rad}} = \ theta _ {{gra}} \ cdot {\ pi \ over 200}

. Alguns ângulos particulares em radianos, graus, graus e voltas:

nome do ângulo	valor em radianos	valor nas notas	valor em graus	valor em turnos
ângulo zero	0 rad	0 gon	0 °	0 tr
miliradiano	0,001	0,063 661 977 gon	0 ° 3 ′ 26 ″ 16 ‴ ou 0,0573 °	0,00015915494 tr
	π / 6 rad	33.333 333 gon	30 °	0,08333 tr (1/12 tr)
	π / 4 rad	50 gon	45 °	0,125 tr (1/8 tr)
radiano	1 rad	63.661.977 gon	57 ° 17 ′ 44 ″ 48 ‴	0,1591549430919 tr (1 / π / 2 tr)
	π / 3 rad	66.666 666 gon	60 °	0,1666 tr (1/6 tr)
ângulo certo	π / 2 rad	100 gon	90 °	0,25 tr
	2π / 3 rad	133.333 333 gon	120 °	0,333 tr
	3π / 4 rad	150 gon	135 °	0,375 rpm
ângulo plano	π rad	200 gon	180 °	0,5 tr
	5π / 4 rad	250 gon	225 °	0,625 tr
	3π / 2 rad	300 gon	270 °	0,75 rpm
	7π / 4 rad	350 gon	315 °	0,875 rpm
ângulo total	2π rad	400 gon	360 °	1 tr

Veja também

Bibliografia

Richard Taillet, Loïc Villain e Pascal Febvre, Dicionário de Física , Bruxelas, De Boeck ,2013, "Radian", p. 569

Notas e referências

(em) AR Crathorne , " The Word" Radian " " , American Mathematical Monthly , vol. 19, n OS 10-11,Outubro a novembro de 1912, p. 166 ( DOI 10.2307 / 2971878 , JSTOR 2971878 ).
(em) Robert J. Whitaker, " Whence the '' Radian ''? " , The Physics Teacher (in) , vol. 32, n o 7,Junho de 1998, p. 444-445 ( DOI 10.1119 / 1.2344073 ).
Taillet, Villain e Febvre 2013 , p. 39