Epígrafe (matemática)

Let Ser uma função definida em um conjunto com valores na linha real completa . A epígrafe de é o conjunto anotado e definido por $f$ $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ $f$ $\ operatorname {epi} \, f$

\ operatorname {epi} \, f: = \ {(x, \ alpha) \ in {\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}: f (x) \ leqslant \ alpha \}.

É, portanto, sobre o conjunto de pontos do conjunto de produtos que estão localizados acima do gráfico de ( orelha vindo do grego antigo e significando em , acima ). ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ times \ mathbb {R}}$ $f$

A epígrafe estrita de é o conjunto observado e definido por $f$ $\ operatorname {epi} _ {s} \, f$

$\ operatorname {epi} _ {s} \, f: = \ {(x, \ alpha) \ in {\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}: f (x) <\ alpha \}.$

Exemplos de uso

A epígrafe permite transferir noções definidas para conjuntos para funções. Aqui estão dois exemplos.

Se for um espaço topológico , provamos que um mapa é inferiormente semicontínuo se e somente se sua epígrafe for uma fechada do espaço topológico do produto . Na análise convexa , esse mapa é considerado fechado. $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}$
Se for um espaço vetorial real , dizemos que é convexo se sua epígrafe for convexa do espaço vetorial produto . $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}$

Notas e referências

Esta noção não deve ser confundida com aquela de aplicação fechada em topologia geral .
(in) Charalambos D. Aliprantis e Kim C. Border Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007, 3 e ed. ( leia online ) , p. 254.

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