Equação integral de Volterra

Em análise , uma equação integral de Volterra é uma equação integral .

História

Equações integrais aparecem em particular na resolução de problemas de Cauchy e equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. O trabalho de Ivar Fredholm sobre a teoria das equações integrais do segundo tipo possibilitou a obtenção de resultados na resolução (a alternativa de Fredholm ).

Definições

As equações integrais dependem de uma função $K$ , que chamamos de núcleo da equação. A principal diferença entre as equações integrais de Fredholm e as de Volterra está nos limites do operador integral: os das equações de Fredholm são fixos, enquanto os das equações de Volterra são variáveis.

Equação integral de Volterra de primeiro tipo

A equação integral de Volterra do primeiro tipo é uma equação integral da forma:

{\ displaystyle g (x) = \ int _ {a} ^ {x} K (x, t, f (t)) \ mathrm {d} t}

onde $f$ é a função desconhecida, $K$ e $g$ recebem funções.

Equação integral de Volterra de segundo tipo

A equação integral de Volterra do segundo tipo é um caso especial das equações lineares integrais de Fredholm do segundo tipo:

{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x, t, f (t)) \ mathrm {d} t, \ quad a \ leqslant t \ leqslant x \ leqslant b}

onde $f$ é a função desconhecida, $K$ e $g$ recebem funções e $λ$ um parâmetro numérico fixo.

Formas lineares e homogêneas

A equação será considerada linear se o kernel tiver a forma

{\ displaystyle K (x, t, f (t)) = K (x, t) f (t)}

A equação será considerada homogênea se $g = 0$ .

Passagem entre as equações do primeiro tipo e o segundo

Pela diferenciação de uma equação integral de Volterra do primeiro tipo, encontramos:

{\ displaystyle g '(x) = K (x, x, f (x)) + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {\ partial K} {\ partial x}} (x, t, f (t)) \, \ mathrm {d} t}

que está na forma da equação do segundo tipo.

Resoluções

Pelo método de iteração de Picard

O método de iteração de Picard consiste em construir uma solução como o limite de uma sequência de funções definidas por indução:

{\ displaystyle \ forall n \ leqslant 0, \ f_ {n + 1} (x) = g (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} R (x, t, f_ {n} (t )) \ mathrm {d} t.}

Ele funciona se $g$ e $K$ são contínuas. Vamos primeiro supor que $f 0$ continua.

Pelo método de Fredholm

Resolver pelo método de Fredholm dá uma solução da forma

{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} R (x, t; \ lambda) g (t) \ mathrm {d} t}

com $R$ denotando o resolvente de Fredholm

{\ displaystyle R (x, t; \ lambda) = {\ frac {D (x, t; \ lambda)} {D (\ lambda)}}}

onde as funções $D$ , são definidas por

{\ displaystyle D (\ lambda) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} C_ {n} \ lambda ^ {n } \, \ D (x, t; \ lambda) = K (x, t) + \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n !}} B_ {n} (x, t) \ lambda ^ {n}}

com

{\ displaystyle C_ {n} = \ underbrace {\ int _ {a} ^ {b} \ int _ {a} ^ {b} \ ldots \ int _ {a} ^ {b}} _ {n \ {\ textrm {times}}} \ left | {\ begin {matrix} K (t_ {1}, t_ {1}) & K (t_ {1}, t_ {2}) & \ ldots & K (t_ {1} , t_ {n}) \\ K (t_ {2}, t_ {1}) & K (t_ {2}, t_ {2}) & \ ldots & K (t_ {2}, t_ {n}) \ \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ K (t_ {n}, t_ {1}) & K (t_ {n}, t_ {2}) & \ ldots & K (t_ {n}, t_ {n}) \ \\ end {matriz}} \ right | \ mathrm {d} t_ {1} \ ldots \ mathrm {d} t_ {n} \, \ B_ {n} (x, t) = \ underbrace {\ int _ {a} ^ {b} \ int _ {a} ^ {b} \ ldots \ int _ {a} ^ {b}} _ {n \ {\ textrm {times}}} \ left | {\ begin {matrix} K (x, t) & K (x, t_ {1}) & \ ldots & K (x, t_ {n}) \\ K (t_ {1}, t) & K (t_ {1}, t_ {1}) & \ ldots & K (t_ {1}, t_ {n}) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ K (t_ {n}, t) & K (t_ {n}, t_ {1}) & \ ldots & K (t_ {n}, t_ {n}) \\\ end {matrix}} \ right | \ mathrm {d} t_ {1} \ ldots \ mathrm {d} t_ {n}.}

A função $D ( x , t ; λ)$ é o determinante de Fredholm e $D (λ)$ é o menor de Fredholm .

Referências

Émile algodão, “ aproximações sucessivas e equações diferenciais ”, Memorial des Sciences mathatique , n o 28,1928( leia online )

Veja também

links externos

A. Rahmoune, " Equações lineares e não lineares integrais - técnicas de análise e solução "
(pt) Eric W. Weisstein , " Volterra Integral Equation of the First Kind " , no MathWorld
(pt) Eric W. Weisstein , " Volterra Integral Equation of the Second Kind " , no MathWorld